Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim x +infty x(raizx^2+1-raiz[4]x^4+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando lim x +infty x(raizx^2+1-raiz[4]x^4+1) tende a mais infinito da expressão:
Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites em funções envolvendo raízes e álgebra para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, analisamos cada parte da expressão separadamente para entender como elas se comportam quando raizx^2+1 approx raizx^2 = x fica muito grande (tende a mais infinito).
Vamos começar com raizx^2+1 = x raiz1 + 1x^2 approx x (1 + 12x^2) = x + 12x . Para valores grandes de , o termo domina, então:
Mas queremos uma aproximação mais precisa. Expandindo a raiz, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar raiz[4]x^4+1 approx raiz[4]x^4 = x . Similarmente, para raiz[4]x^4+1 = x raiz[4]1 + 1x^4 approx x (1 + 14x^4) = x + 14x^3 grande:
E expandindo para uma aproximação melhor:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original:
x(raizx^2+1-raiz[4]x^4+1) approx x( (x + 12x) - (x + 14x^3) )
Simplificando dentro dos parênteses:
(x + 12x) - (x + 14x^3) = 12x - 14x^3

Passo 5

Agora, multiplicamos pelo x ( 12x - 14x^3 ) = 12 - 14x^2 que está fora:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite quando limx to +infty ( 12 - 14x^2 ) = 12 - 0 = 12 tende a mais infinito:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Faça um esboço do gráfico de cada função. f(x) = -3^-x.
Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim x +infty 3 x^2-2 raizx cos (x)raiz5 x^4
Determine as assíntotas verticais das funções. f(x) = x/(x^2 - x - 2).
Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim x 1^+ raizx-1raiz[3]x^2+1-raiz[3]2