Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve cálculo de limites e funções com radicais. Vamos precisar usar propriedades de limites e algumas aproximações para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando
se aproxima de 1 pela direita (
).
-
No numerador, temos
. Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, então também se aproxima de 0. -
No denominador, temos
. Quando se aproxima de 1, se aproxima de 2, então se aproxima de , fazendo com que o denominador também se aproxime de 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada
, indicando que podemos usar a Regra de L’Hôpital ou fazer uma aproximação para resolver.
Passo 3
Vamos optar por fazer uma substituição para simplificar. Seja
. Assim, quando
,
. Reescrevendo a expressão em termos de
:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador. Calculando
:
Então, o denominador fica:
Passo 5
Para pequenas
, podemos aproximar
usando uma expansão de Taylor ou a aproximação linear. A derivada de
é
. Avaliada em
:
Então, podemos aproximar:
Como
é pequeno, o termo
pode ser descartado, ficando:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na fração original:
Passo 7
Quando
,
. Portanto, todo o limite tende a
.
Resposta
O limite é
.
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Determine as assíntotas verticais das funções.
.
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
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