Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim x 1^+ raizx-1raiz[3]x^2+1-raiz[3]2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites e funções com radicais. Vamos precisar usar propriedades de limites e algumas aproximações para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando se aproxima de 1 pela direita ( ).
  • No numerador, temos . Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, então também se aproxima de 0.
  • No denominador, temos . Quando se aproxima de 1, se aproxima de 2, então se aproxima de , fazendo com que o denominador também se aproxime de 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada , indicando que podemos usar a Regra de L’Hôpital ou fazer uma aproximação para resolver.

Passo 3

Vamos optar por fazer uma substituição para simplificar. Seja raiztraiz[3](1 + t)^2 + 1 - raiz[3]2 . Assim, quando , . Reescrevendo a expressão em termos de :

Passo 4

Vamos simplificar o denominador. Calculando (1 + t)^2 + 1 = 1 + 2t + t^2 + 1 = 2 + 2t + t^2 :
raiz[3]2 + 2t + t^2 - raiz[3]2
Então, o denominador fica:

Passo 5

Para pequenas f'(2) = 13 cdot 2^-2/3 , podemos aproximar raiz[3]2 + 2t + t^2 approx raiz[3]2 + 13 cdot 2^-2/3 cdot (2t + t^2) usando uma expansão de Taylor ou a aproximação linear. A derivada de raiz[3]2 + 2t + t^2 - raiz[3]2 approx 23 cdot 2^-2/3 t = 23 cdot 2^2/3 t é . Avaliada em :
Então, podemos aproximar:
Como é pequeno, o termo pode ser descartado, ficando:

Passo 6

Agora, substituindo de volta na fração original:
raizt23 cdot 2^2/3 t = 3 cdot 2^2/32 cdot raiztt = 3 cdot 2^2/32 cdot 1raizt

Passo 7

Quando , . Portanto, todo o limite tende a .

Resposta

O limite é .

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