Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim x +infty 3 x^2-2 raizx cos (x)raiz5 x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é o seguinte:
lim x +infty 3 x^2-2 raizx cos (x)raiz5 x^4
Aqui, estaremos trabalhando com limites no infinito usando funções racionais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as diferentes potências de se comportam quando cresce muito, além de saber lidar com termos que têm funções como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador raiz5 x^4 = raiz5 cdot raizx^4 = raiz5 cdot x^2 . A raiz quadrada de é igual a:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 3

Agora, reescrevemos o limite com o denominador simplificado:
lim x +infty 3 x^2-2 raizx cos (x)raiz5 cdot x^2 = 1raiz5 cdot lim x +infty 3 x^2-2 raizx cos (x)x^2
Dividimos tudo por .

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador por 3 x^2x^2 - 2 raizx cos (x)x^2 = 3 - 2 cos(x)x^3/2 :
Simplificamos cada fração.

Passo 5

Agora, analisamos o limite de cada termo separadamente:
  1. O primeiro termo é 3, que permanece igual.
  2. Para o segundo termo, oscila entre -1 e 1, então tende a 0 quando vai para o infinito, porque o denominador cresce sem limites.

Passo 6

Então, o limite fica:
3 - 0 = 3
Multiplicando de volta pela constante que tínhamos:
1raiz5 cdot 3 = 3raiz5

Resposta

O limite é .

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