Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim x -infty raizx^2+raiz[3]x^3+1-raizx^2-3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando lim x -infty raizx^2+raiz[3]x^3+1 - raizx^2-3 x vai para menos infinito da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes quadradas e cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes quando se aproxima de menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Começamos com a primeira raiz quadrada:
raizx^2 + raiz[3]x^3 + 1
Quando raizx^2 (1 + raiz[3]x^3 + 1x^2) = |x| raiz1 + raiz[3]x^3 + 1x^2 tende a menos infinito, raizx^2 + raiz[3]x^3 + 1 = -x raiz1 + raiz[3]x^3 + 1x^2 domina, então podemos reescrever a expressão como:
Como é negativo e tendendo a menos infinito, . Então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a raiz cúbica dentro da expressão:
raiz[3]x^3 + 1
Quando raiz[3]x^3 + 1 approx raiz[3]x^3 = x é muito grande em módulo, raiz[3]x^3 + 1 = x raiz[3]1 + 1x^3 approx x (1 + 13x^3) = x + 13x^2 domina, então:
Mas para uma aproximação mais precisa, usamos a expansão de Taylor para :

Passo 4

Substituindo essa aproximação de volta na expressão original:
raizx^2 + raiz[3]x^3 + 1 approx -x raiz1 + x + 13x^2x^2 = -x raiz1 + 1x + 13x^4
Quando raiz1 + 1x + 13x^4 approx 1 + 12x tende a menos infinito, os termos raizx^2 + raiz[3]x^3 + 1 approx -x (1 + 12x) = -x - 12 e ficam muito pequenos, então podemos usar a aproximação para pequeno:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda raiz quadrada na expressão original:
raizx^2 - 3x = raizx^2 (1 - 3x) = |x| raiz1 - 3x
Novamente, como raizx^2 - 3x = -x raiz1 - 3x é negativo:
raiz1 - 3x approx 1 - 32x
Usando a mesma aproximação para a raiz quadrada:
raizx^2 - 3x approx -x (1 - 32x) = -x + 32
Então:

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes simplificadas na expressão do limite:
raizx^2 + raiz[3]x^3 + 1 - raizx^2 - 3x approx (-x - 12) - (-x + 32)
Simplificando:
- x - 12 + x - 32 = -2

Resposta

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