Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar a área da região limitada pelas retas e curvas dadas:
,
,
e
. Vamos usar o cálculo de integrais para descobrir essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas e retas se comportam no gráfico. A função
é uma curva que começa em 1 quando
e diminui até 0 quando
. A reta
é uma linha horizontal constante nesse intervalo. As linhas
e
são linhas verticais que delimitam o início e o fim do nosso intervalo de interesse.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo de
a
. Observamos que
está sempre acima de
nesse intervalo. Isso significa que a área que queremos calcular está entre essas duas curvas.
Passo 4
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integral definida:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo. No nosso caso,
e
, com os limites de integração
e
.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então,
Substituindo os limites:
Resposta
A área da região delimitada é
.
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3.
3.
Calcule, caso existam, os seguintes limites: