Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = cos(x), y = 1, x = 0, x = pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar a área da região limitada pelas retas e curvas dadas: , , e . Vamos usar o cálculo de integrais para descobrir essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas e retas se comportam no gráfico. A função é uma curva que começa em 1 quando e diminui até 0 quando . A reta é uma linha horizontal constante nesse intervalo. As linhas e são linhas verticais que delimitam o início e o fim do nosso intervalo de interesse.

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo de a . Observamos que está sempre acima de nesse intervalo. Isso significa que a área que queremos calcular está entre essas duas curvas.

Passo 4

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integral definida:
Á
Onde é a função de cima e é a função de baixo. No nosso caso, e , com os limites de integração e .

Passo 5

Vamos agora calcular a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Então,
Á
Substituindo os limites:
Á

Resposta

A área da região delimitada é .

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