Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim x +infty x+sen(x)+2 raizx3 x+cos (x)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando lim x +infty x+sen(x)+2 raizx3 x+cos (x) vai para mais infinito da seguinte fração:
Aqui, vamos usar conhecimentos de limites no cálculo, especialmente sobre comportamentos de funções polinomiais e funções trigonométricas quando cresce sem limite. Precisamos identificar quais termos dominam no numerador e no denominador para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para ver quais termos vão “se destacar” quando x, sen(x), 2 raizx tende ao infinito.
No numerador:
3x, cos(x)
  • cresce sem limite.
  • oscila entre -1 e 1, então seu impacto diminui comparado aos outros termos.
  • também cresce, mas mais lentamente que .
No denominador:
  • cresce sem limite.
  • oscila entre -1 e 1, tendo impacto insignificante comparado a .
Então, os termos que dominam são no numerador e no denominador.

Passo 3

Para calcular o limite, vamos simplificar a fração dividindo todos os termos pelo termo de maior grau no denominador, que é lim x +infty x+sen(x)+2 raizx3 x+cos (x) = lim x +infty xx + sen(x)x + 2 raizxx3xx + cos(x)x .
= lim x +infty 1 + sen(x)x + 2raizx3 + cos(x)x
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada fração quando 1 + 0 + 03 + 0 = 13 tende ao infinito:
  • : Como está entre -1 e 1, essa fração tende a 0.
  • : Conforme aumenta, também aumenta, então essa fração tende a 0.
  • : Similar à , está entre -1 e 1, então essa fração também tende a 0.
Portanto, a expressão simplificada fica:

Resposta

O limite é igual a .

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