Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite quando
vai para mais infinito da seguinte fração:
Aqui, vamos usar conhecimentos de limites no cálculo, especialmente sobre comportamentos de funções polinomiais e funções trigonométricas quando
cresce sem limite. Precisamos identificar quais termos dominam no numerador e no denominador para simplificar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para ver quais termos vão “se destacar” quando
tende ao infinito.
No numerador:
-
cresce sem limite. -
oscila entre -1 e 1, então seu impacto diminui comparado aos outros termos. -
também cresce, mas mais lentamente que .
No denominador:
-
cresce sem limite. -
oscila entre -1 e 1, tendo impacto insignificante comparado a .
Então, os termos que dominam são
no numerador e
no denominador.
Passo 3
Para calcular o limite, vamos simplificar a fração dividindo todos os termos pelo termo de maior grau no denominador, que é
.
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com cada fração quando
tende ao infinito:
-
: Como está entre -1 e 1, essa fração tende a 0. -
: Conforme aumenta, também aumenta, então essa fração tende a 0. -
: Similar à , está entre -1 e 1, então essa fração também tende a 0.
Portanto, a expressão simplificada fica:
Resposta
O limite é igual a
.
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Determine as assíntotas verticais das funções.
.
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Mostre que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
, no intervalo