Mostre que existe uma raiz da equação no intervalo especificado: x^5 = -1 - x, no intervalo (-1, 0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a equação e precisamos mostrar que existe uma solução (ou raiz) dessa equação no intervalo entre -1 e 0, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Vamos começar definindo uma função baseada na equação dada. Podemos reescrever a equação para formar uma função igual a zero:
Agora, queremos encontrar um valor de no intervalo que torne .

Passo 3

O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se uma função contínua dispara valores de sinais diferentes em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Primeiro, precisamos verificar se nossa função é contínua no intervalo . Funções polinomiais, como , são contínuas em todo o seu domínio, então estamos tranquilos nessa parte.

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores de nos extremos do intervalo:
Para :
Para :

Passo 5

Observamos que:
Isso significa que a função muda de negativo para positivo ao passar de para .

Passo 6

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, como é contínua no intervalo e muda de sinal, necessariamente existe pelo menos um valor de nesse intervalo onde .

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

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