Mostre que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
, no intervalo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a equação
e precisamos mostrar que existe uma solução (ou raiz) dessa equação no intervalo entre -1 e 0, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Vamos começar definindo uma função baseada na equação dada. Podemos reescrever a equação
para formar uma função igual a zero:
Agora, queremos encontrar um valor de
no intervalo
que torne
.
Passo 3
O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se uma função contínua dispara valores de sinais diferentes em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Primeiro, precisamos verificar se nossa função
é contínua no intervalo
. Funções polinomiais, como
, são contínuas em todo o seu domínio, então estamos tranquilos nessa parte.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 5
Observamos que:
Isso significa que a função
muda de negativo para positivo ao passar de
para
.
Passo 6
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua no intervalo
e muda de sinal, necessariamente existe pelo menos um valor de
nesse intervalo onde
.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.