Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim t 2 F(t), onde F(t)=t^2-4t+2 i+sen(pi / t)t j+2 t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite , onde . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2) . Podemos simplificar essa fração. Note que t^2-4t+2 = (t - 2)(t + 2)t + 2 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
(t - 2)cancel(t + 2)cancelt + 2 = t - 2
Então, substituindo na fração:
limt to 2 (t - 2) = 2 - 2 = 0
Aqui, podemos cancelar o termo no numerador e denominador (desde que ):
Agora, o limite dessa parte quando se aproxima de 2 é:

Passo 3

Agora, vamos para a componente limt to 2 sen(pi / t)t = sen(pi / 2)2 . Para calcular o limite quando 12 se aproxima de 2, substituímos diretamente:
Sabemos que , então:

Passo 4

Por último, temos a componente limt to 2 2 t = 2 times 2 = 4 . Calculando o limite diretamente:

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial lim t 2 F(t) = 0 i + 12 j + 4 k quando se aproxima de 2 é:

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