Calcule, caso existam, os seguintes limites: , onde F(t)=t^2-4t+2 i+sen(pi / t)t j+2 t k
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite , onde . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2) . Podemos simplificar essa fração. Note que t^2-4t+2 = (t - 2)(t + 2)t + 2 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
(t - 2)cancel(t + 2)cancelt + 2 = t - 2
Então, substituindo na fração:
limt to 2 (t - 2) = 2 - 2 = 0
Aqui, podemos cancelar o termo no numerador e denominador (desde que ):
Agora, o limite dessa parte quando se aproxima de 2 é:
Passo 3
Agora, vamos para a componente limt to 2 sen(pi / t)t = sen(pi / 2)2 . Para calcular o limite quando 12 se aproxima de 2, substituímos diretamente:
Sabemos que , então:
Passo 4
Por último, temos a componente limt to 2 2 t = 2 times 2 = 4 . Calculando o limite diretamente:
Resposta
Portanto, o limite da função vetorial lim t 2 F(t) = 0 i + 12 j + 4 k quando se aproxima de 2 é: