Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se e são ordens parciais em , então também é uma ordem parcial em .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Queremos verificar se a interseção de duas ordens parciais e em um conjunto também constitui uma ordem parcial em . O conteúdo envolve propriedades de ordens parciais, como reflexividade, antissimetria e transitividade. Para resolver, vamos analisar cada propriedade para a interseção .
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma ordem parcial é uma relação que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Então, precisamos verificar se mantém essas mesmas propriedades.
Passo 3
Reflexividade: Tanto quanto são reflexivas, ou seja, para todo , e . Portanto, , garantindo que seja reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Se e pertencem a , então pertencem a ambos e . Como e são antissimétricas, segue que . Logo, também é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Se e pertencem a , então pertencem a ambos e . Como e são transitivas, e , resultando em . Assim, é transitiva.
Resposta
Verdadeiro. A interseção de duas ordens parciais e em também é uma ordem parcial em , pois mantém as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade.