Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se
e
são ordens parciais em
, então
também é uma ordem parcial em
.
(a) Se
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Queremos verificar se a interseção de duas ordens parciais
e
em um conjunto
também constitui uma ordem parcial em
. O conteúdo envolve propriedades de ordens parciais, como reflexividade, antissimetria e transitividade. Para resolver, vamos analisar cada propriedade para a interseção
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma ordem parcial é uma relação que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Então, precisamos verificar se
mantém essas mesmas propriedades.
Passo 3
Reflexividade: Tanto
quanto
são reflexivas, ou seja, para todo
,
e
. Portanto,
, garantindo que
seja reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Se
e
pertencem a
, então pertencem a ambos
e
. Como
e
são antissimétricas, segue que
. Logo,
também é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Se
e
pertencem a
, então pertencem a ambos
e
. Como
e
são transitivas,
e
, resultando em
. Assim,
é transitiva.
Resposta
Verdadeiro. A interseção
de duas ordens parciais
e
em
também é uma ordem parcial em
, pois mantém as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade.