Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se e são ordens parciais em , então também é uma ordem parcial em .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Queremos verificar se a interseção de duas ordens parciais e em um conjunto também constitui uma ordem parcial em . O conteúdo envolve propriedades de ordens parciais, como reflexividade, antissimetria e transitividade. Para resolver, vamos analisar cada propriedade para a interseção .

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma ordem parcial é uma relação que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Então, precisamos verificar se mantém essas mesmas propriedades.

Passo 3

Reflexividade: Tanto quanto são reflexivas, ou seja, para todo , e . Portanto, , garantindo que seja reflexiva.

Passo 4

Antissimetria: Se e pertencem a , então pertencem a ambos e . Como e são antissimétricas, segue que . Logo, também é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: Se e pertencem a , então pertencem a ambos e . Como e são transitivas, e , resultando em . Assim, é transitiva.

Resposta

Verdadeiro. A interseção de duas ordens parciais e em também é uma ordem parcial em , pois mantém as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade.

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Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se é enumerável e é incontável, então é incontável.
Calcule, caso existam, os seguintes limites: , onde
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Seja é uma ordem parcial em e . Se é elemento -mínimo de , então é o menor limitante inferior de .
Questão 4 (1,0 ponto). Seja um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição de tal que tanto quanto cada elemento de é enumerável.