Considere as funções F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = (t^2 + 2t, raiz(t^2 - 1), 3t^3) e G(t) = (t, t / raiz(t^2 - 1), e^t). Determine: O produto vetorial F(t) ∧ G(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas funções vetoriais e que mapeiam para R^3. Nosso objetivo aqui é calcular o produto vetorial entre essas duas funções, ou seja, F(t) ∧ G(t). Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial de dois vetores em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores e . O produto vetorial é dado por:
Isso significa que cada componente do produto vetorial é calculada combinando as componentes dos vetores originais de uma forma específica.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes das funções e :
Vamos chamar as componentes de de , , e as de de , , .

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto vetorial, temos:
Vamos calcular cada componente separadamente.

Passo 5

Calculando a primeira componente:
Simplificando:

Passo 6

Calculando a segunda componente:
Simplificando:

Passo 7

Calculando a terceira componente:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, juntando todas as componentes calculadas, o produto vetorial F(t) ∧ G(t) é:

Resposta

O produto vetorial F(t) ∧ G(t) é igual a:

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