Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se é enumerável e é incontável, então é incontável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, se o conjunto é enumerável e o produto cartesiano é incontável, então o conjunto também precisa ser incontável. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência infinita, como os números naturais . Por outro lado, um conjunto é incontável se não pode ser listado dessa forma, como o conjunto dos números reais .
Passo 3
Agora, o produto cartesiano representa o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de e o segundo de . Se é enumerável e é incontável, queremos descobrir se isso implica que é incontável.
Passo 4
Vamos supor que fosse enumerável. Se é enumerável, então o produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis também seria enumerável. Isso porque podemos listar todos os pares ordenados de de forma ordenada, usando técnicas como a diagonalização.
Passo 5
Mas, pelo enunciado, sabemos que é incontável. Isso cria um conflito com a nossa suposição de que é enumerável. Se é enumerável e é incontável, a única maneira de resolver esse conflito é que não seja enumerável, ou seja, é incontável.
Resposta
Verdadeiro. Se é enumerável e é incontável, então necessariamente deve ser incontável.