Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se
é enumerável e
é incontável, então
é incontável.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, se o conjunto
é enumerável e o produto cartesiano
é incontável, então o conjunto
também precisa ser incontável. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência infinita, como os números naturais
. Por outro lado, um conjunto é incontável se não pode ser listado dessa forma, como o conjunto dos números reais
.
Passo 3
Agora, o produto cartesiano
representa o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de
e o segundo de
. Se
é enumerável e
é incontável, queremos descobrir se isso implica que
é incontável.
Passo 4
Vamos supor que
fosse enumerável. Se
é enumerável, então o produto cartesiano
de dois conjuntos enumeráveis também seria enumerável. Isso porque podemos listar todos os pares ordenados de
de forma ordenada, usando técnicas como a diagonalização.
Passo 5
Mas, pelo enunciado, sabemos que
é incontável. Isso cria um conflito com a nossa suposição de que
é enumerável. Se
é enumerável e
é incontável, a única maneira de resolver esse conflito é que
não seja enumerável, ou seja,
é incontável.
Resposta
Verdadeiro. Se
é enumerável e
é incontável, então necessariamente
deve ser incontável.