Considere as funções F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = (t^2 + 2t, raiz(t^2 - 1), 3t^3) e G(t) = (t, t / raiz(t^2 - 1), e^t). Determine: O domínio de F e G;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, a e a , que mapeiam um conjunto A para o espaço tridimensional R^3. O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio dessas funções, ou seja, os valores de t para os quais as funções estão bem definidas e os resultados são números reais válidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada ( t neste caso) para os quais a função produz uma saída real. Para descobrir isso, precisamos analisar cada componente das funções e e identificar possíveis restrições, como raízes quadradas ou denominadores que não podem ser zero.

Passo 3

Vamos começar com a função . Vamos olhar para cada componente:
  1. Primeira componente:
    • Aqui, não temos restrições. Qualquer valor de t é permitido.
  2. Segunda componente:
    • Dentro da raiz quadrada, a expressão precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real.
    • Então,
    • Resolvendo:
    • Tirando a raiz: ou
  3. Terceira componente:
    • Novamente, não há restrições aqui. Qualquer valor de t funciona.
Conclusão para :
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de é todos os números reais t onde ou .

Passo 4

Agora, vamos analisar a função . Novamente, vamos examinar cada componente:
  1. Primeira componente: t
    • Sem restrições. Qualquer t é válido.
  2. Segunda componente:
    • Aqui temos duas coisas importantes: a raiz quadrada no denominador e o próprio denominador.
    • Primeiro, para que a raiz seja real: (não pode ser igual a zero, pois estaria no denominador).
    • Então,
    • Resolvendo: ou
  3. Terceira componente: e^t
    • A função exponencial está definida para todos os números reais, sem restrições.
Conclusão para :
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de é todos os números reais t onde ou .

Resposta

  • Domínio de F: Todos os números reais t tais que ou .
  • Domínio de G: Todos os números reais t tais que ou .

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