Considere as funções dadas por e . Determine: O domínio de e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, a e a , que mapeiam um conjunto para o espaço tridimensional . O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio dessas funções, ou seja, os valores de para os quais as funções estão bem definidas e os resultados são números reais válidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada ( neste caso) para os quais a função produz uma saída real. Para descobrir isso, precisamos analisar cada componente das funções e e identificar possíveis restrições, como raízes quadradas ou denominadores que não podem ser zero.
Passo 3
Vamos começar com a função . Vamos olhar para cada componente:
Primeira componente:
Aqui, não temos restrições. Qualquer valor de é permitido.
Segunda componente:
Dentro da raiz quadrada, a expressão precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real.
Então,
Resolvendo:
Tirando a raiz: ou
Terceira componente:
Novamente, não há restrições aqui. Qualquer valor de funciona.
Conclusão para :
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de é todos os números reais onde ou .
Passo 4
Agora, vamos analisar a função . Novamente, vamos examinar cada componente:
Primeira componente:
Sem restrições. Qualquer é válido.
Segunda componente:
Aqui temos duas coisas importantes: a raiz quadrada no denominador e o próprio denominador.
Primeiro, para que a raiz seja real: (não pode ser igual a zero, pois estaria no denominador).
Então,
Resolvendo: ou
Terceira componente:
A função exponencial está definida para todos os números reais, sem restrições.
Conclusão para :
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de é todos os números reais onde ou .