Considere as funções
dadas por
e
. Determine: O domínio de
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, a
e a
, que mapeiam um conjunto
para o espaço tridimensional
. O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio dessas funções, ou seja, os valores de
para os quais as funções estão bem definidas e os resultados são números reais válidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (
neste caso) para os quais a função produz uma saída real. Para descobrir isso, precisamos analisar cada componente das funções
e
e identificar possíveis restrições, como raízes quadradas ou denominadores que não podem ser zero.
Passo 3
Vamos começar com a função
. Vamos olhar para cada componente:
-
Primeira componente:
- Aqui, não temos restrições. Qualquer valor de
é permitido.
- Aqui, não temos restrições. Qualquer valor de
-
Segunda componente:
- Dentro da raiz quadrada, a expressão
precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real. - Então,
- Resolvendo:
- Tirando a raiz:
ou
- Dentro da raiz quadrada, a expressão
-
Terceira componente:
- Novamente, não há restrições aqui. Qualquer valor de
funciona.
- Novamente, não há restrições aqui. Qualquer valor de
Conclusão para
:
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de é todos os números reais
onde
ou
.
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de
Passo 4
Agora, vamos analisar a função
. Novamente, vamos examinar cada componente:
-
Primeira componente:
- Sem restrições. Qualquer
é válido.
- Sem restrições. Qualquer
-
Segunda componente:
- Aqui temos duas coisas importantes: a raiz quadrada no denominador e o próprio denominador.
- Primeiro, para que a raiz seja real:
(não pode ser igual a zero, pois estaria no denominador). - Então,
- Resolvendo:
ou
-
Terceira componente:
- A função exponencial está definida para todos os números reais, sem restrições.
Conclusão para
:
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de é todos os números reais
onde
ou
.
As únicas restrições vêm da segunda componente, então o domínio de
Resposta
-
Domínio de
: Todos os números reais tais que ou . -
Domínio de
: Todos os números reais tais que ou .