Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (-1, pi)(x^4 y^2-2 x y+sen(y))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (-1, pi)(x^4 y^2-2 x y+sen(y)) se aproxima de . A função que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites em funções de várias variáveis. A boa notícia é que, se a função for contínua no ponto para o qual estamos calculando o limite, podemos simplesmente substituir os valores de e diretamente na função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar cada parte da função separadamente:
  1. (-1)^4 cdot pi^2 = 1 cdot pi^2 = pi^2 :
    Substituindo -2 cdot (-1) cdot pi = 2pi e sen(pi) = 0 :
    Aqui, usamos a propriedade de que qualquer número elevado a uma potência par fica positivo.
  2. :
    Substituindo e :
    Note que o negativo multiplicado por negativo dá positivo.
  3. :
    Substituindo :
    Sabemos que o seno de é zero.

Passo 3

Agora, vamos juntar tudo:
pi^2 + 2pi + 0 = pi^2 + 2pi

Resposta

O limite é .

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