Mostre que não é contínua no ponto . Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função de duas variáveis, , definida de duas formas:
O objetivo é mostrar que essa função não é contínua no ponto . Para isso, vamos utilizar o conceito de limite em funções de várias variáveis e verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se:
No nosso caso, queremos verificar se:
Se essa igualdade não for verdadeira, então a função não é contínua em .
Passo 3
Para verificar o limite, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, isso significa que o limite geral não existe, e portanto, a função não é contínua nesse ponto.
Passo 4
Vamos começar analisando o caminho onde , onde é uma constante qualquer. Substituindo por na função, temos:
Note que, à medida que tende a 0, tende a , que depende do valor de . Portanto, o limite pode variar dependendo do caminho escolhido.
Passo 5
Vamos escolher dois valores diferentes para para mostrar que os limites são diferentes:
Primeiro caminho: ()
Segundo caminho: ()
Aqui vemos que os limites são e , que são diferentes.
Passo 6
Como encontramos dois caminhos que dão limites diferentes quando se aproxima de , podemos concluir que o limite geral de quando não existe.
Resposta
Portanto, como o limite de quando se aproxima de não é igual ao valor da função nesse ponto (que é 0), concluímos que não é contínua no ponto .