Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O conteúdo aqui é sobre limites multivariáveis, e para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e um pouco de análise de caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo 3x^2yraizx^2+y^2 = 3(r cos(theta))^2(r sin(theta))raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e na nossa função original:

Passo 4

Simplificando os termos:
= 3r^2 cos^2(theta) cdot r sin(theta)raizr^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta))
Sabemos que = 3r^3 cos^2(theta) sin(theta)raizr^2 = 3r^3 cos^2(theta) sin(theta)r = 3r^2 cos^2(theta) sin(theta) , então:

Passo 5

Agora, observamos que quando tende a 0, também tende a 0. Além disso, é limitado, pois os valores de seno e cosseno estão sempre entre -1 e 1.

Passo 6

Portanto, o produto tende a 0 quando tende a 0, independente do valor de .

Resposta

O limite é igual a .

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