Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui é sobre limites multivariáveis, e para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e um pouco de análise de caminhos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
na nossa função original:
Passo 4
Simplificando os termos:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, observamos que quando
tende a 0,
também tende a 0. Além disso,
é limitado, pois os valores de seno e cosseno estão sempre entre -1 e 1.
Passo 6
Portanto, o produto
tende a 0 quando
tende a 0, independente do valor de
.
Resposta
O limite é igual a
.