Calcule, caso existam, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O conteúdo aqui é sobre limites multivariáveis, e para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e um pouco de análise de caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo e na nossa função original:

Passo 4

Simplificando os termos:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, observamos que quando tende a 0, também tende a 0. Além disso, é limitado, pois os valores de seno e cosseno estão sempre entre -1 e 1.

Passo 6

Portanto, o produto tende a 0 quando tende a 0, independente do valor de .

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Considere a função dada por
Mostre que não é contínua no ponto . Justifique a sua resposta.
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Verifique se a função dada por é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade de .