Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis, trigonometria e álgebra. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 1 por valores maiores que 1 () e se aproxima de 0 por valores positivos ().
Passo 2
Vamos simplificar a expressão substituindo e , onde e . Assim, a função fica:
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de e , podemos aproximar , já que quando é pequeno. Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é e o denominador é . Para simplificar, podemos fatorar no numerador:
E reescrever o denominador como:
Passo 5
Para facilitar o cálculo, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :
Dividindo cada termo por , temos:
Passo 6
Agora, considerando que e estão se aproximando de 0, podemos observar que os termos e tendem a 0 mais rapidamente. Além disso, o denominador também tende a 0. Isso sugere que a expressão inteira tende a 0.
Passo 7
Para confirmar, consideremos diferentes caminhos de aproximação. Se , onde é uma constante positiva, substituindo na expressão, veremos que o limite permanece 0 independentemente do valor de .