Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis, trigonometria e álgebra. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando
Passo 2
Vamos simplificar a expressão substituindo
e
, onde
e
. Assim, a função fica:
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de
e
, podemos aproximar
, já que
quando
é pequeno. Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é
e o denominador é
. Para simplificar, podemos fatorar
no numerador:
E reescrever o denominador como:
Passo 5
Para facilitar o cálculo, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
:
Dividindo cada termo por
Passo 6
Agora, considerando que
e
estão se aproximando de 0, podemos observar que os termos
e
tendem a 0 mais rapidamente. Além disso, o denominador
também tende a 0. Isso sugere que a expressão inteira tende a 0.
Passo 7
Para confirmar, consideremos diferentes caminhos de aproximação. Se
, onde
é uma constante positiva, substituindo na expressão, veremos que o limite permanece 0 independentemente do valor de
.