Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (1^+, 0^+) (x-y-1) sen(x y)raizx-1-raizy

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
lim (x, y) (1^+, 0^+) (x-y-1) sin(x y)raizx-1-raizy
Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis, trigonometria e álgebra. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 1 por valores maiores que 1 ( ) e se aproxima de 0 por valores positivos ( ).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão substituindo (1 + h - k -1) sin((1 + h)k)raizh - raizk = (h - k) sin(k + h k)raizh - raizk e , onde e . Assim, a função fica:

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de (h - k) cdot kraizh - raizk e , podemos aproximar , já que quando é pequeno. Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é k(h - k) = k h - k^2 e o denominador é raizh - raizk. Para simplificar, podemos fatorar no numerador:

E reescrever o denominador como:

Passo 5

Para facilitar o cálculo, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por k h - k^2raizh - raizk = h cdot k - k^2raizh - raizk:
h cdot raizk - k^3/2raizhraizk - 1
Dividindo cada termo por , temos:

Passo 6

Agora, considerando que e estão se aproximando de 0, podemos observar que os termos e tendem a 0 mais rapidamente. Além disso, o denominador também tende a 0. Isso sugere que a expressão inteira tende a 0.

Passo 7

Para confirmar, consideremos diferentes caminhos de aproximação. Se , onde é uma constante positiva, substituindo na expressão, veremos que o limite permanece 0 independentemente do valor de .

Resposta

0

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