Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar que o limite abaixo não existe usando o teste dos caminhos:
Aqui, o conteúdo principal é limites em funções de duas variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: y = 2. Isso significa que estamos chegando ao ponto mantendo sempre igual a 2 e deixando ir para 0.
Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos tentar o caminho onde , ou seja, . Assim, quando vai para 0, também vai para 2.
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando vai para 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 1.

Passo 4

Comparando os resultados dos dois caminhos:
  • Pelo caminho , o limite é 0.
  • Pelo caminho , o limite é 1.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso nos mostra que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
; , quando
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo: .