Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: square
lim (x, y) (0,2) x(y-2)^2x^5+(y-2)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar que o limite abaixo não existe usando o teste dos caminhos:
lim (x, y) (0,2) x(y-2)^2x^5+(y-2)^3
Aqui, o conteúdo principal é limites em funções de duas variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: y = 2. Isso significa que estamos chegando ao ponto x(2-2)^2x^5+(2-2)^3 = x(0)^2x^5+0 = 0x^5 = 0 mantendo sempre igual a 2 e deixando ir para 0.
Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos tentar o caminho onde x(x)^2x^5+x^3 = x^3x^5+x^3 = x^3x^3(x^2+1) = 1x^2+1 , ou seja, limx to 0 1x^2+1 = 10 + 1 = 1 . Assim, quando vai para 0, também vai para 2.
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando vai para 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 1.

Passo 4

Comparando os resultados dos dois caminhos:
  • Pelo caminho , o limite é 0.
  • Pelo caminho , o limite é 1.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso nos mostra que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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