Resolver com delta de dirac e fator integrante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares. Dividimos todos os termos por
(assumindo que
) para ficar assim:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação. Aqui,
e
. O próximo passo é achar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação.
Passo 4
Para achar o fator integrante
, usamos a fórmula:
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 6
Escrevemos a equação como uma derivada:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 7
Calculando a integral:
Então, temos:
Passo 8
Isolamos
dividindo por
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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