Resolver com delta de dirac e fator integrante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares. Dividimos todos os termos por (assumindo que ) para ficar assim:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação. Aqui, e . O próximo passo é achar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação.

Passo 4

Para achar o fator integrante , usamos a fórmula:
Calculando a integral:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 6

Escrevemos a equação como uma derivada:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 7

Calculando a integral:
Então, temos:

Passo 8

Isolamos dividindo por :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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