Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 0 por valores positivos e
se aproxima de 2 por valores positivos. O conteúdo envolvido aqui inclui limites de funções de duas variáveis e operações com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que queremos calcular:
Aqui,
está se aproximando de 0 e
está se aproximando de 2. Vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador nesses pontos.
Passo 3
Vamos calcular o numerador quando
se aproxima de 0 e
de 2:
Agora, o denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 4
Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do denominador:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão, vamos calcular o limite da nova função:
Substituindo
por 0 e
por 2:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Usando a definição de limite, mostre que:
Para quais valores da constante k a função f é contínua em
?
(a)
(a)
Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais: