Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (0^+, 2^+) x-y+2raizx-raizy-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0 por valores positivos e se aproxima de 2 por valores positivos. O conteúdo envolvido aqui inclui limites de funções de duas variáveis e operações com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que queremos calcular:
lim (x, y) (0^+, 2^+) x - y + 2raizx - raizy - 2
Aqui, está se aproximando de 0 e está se aproximando de 2. Vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador nesses pontos.

Passo 3

Vamos calcular o numerador quando x - y + 2 0 - 2 + 2 = 0 se aproxima de 0 e raizx - raizy - 2 raiz0 - raiz2 - 2 = 0 - 0 = 0 de 2:
Agora, o denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do denominador:
x - y + 2raizx - raizy - 2 times raizx + raizy - 2raizx + raizy - 2 = (x - y + 2)(raizx + raizy - 2)(raizx)^2 - (raizy - 2)^2
Simplificando o denominador:
(raizx)^2 - (raizy - 2)^2 = x - (y - 2) = x - y + 2
Então, a expressão simplifica para:
(x - y + 2)(raizx + raizy - 2)x - y + 2 = raizx + raizy - 2

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, vamos calcular o limite da nova função:
lim (x, y) (0^+, 2^+) ( raizx + raizy - 2 )
Substituindo raiz0 + raiz2 - 2 = 0 + 0 = 0 por 0 e por 2:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados