Calcule, caso existam, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0 por valores positivos e se aproxima de 2 por valores positivos. O conteúdo envolvido aqui inclui limites de funções de duas variáveis e operações com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que queremos calcular:
Aqui, está se aproximando de 0 e está se aproximando de 2. Vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador nesses pontos.

Passo 3

Vamos calcular o numerador quando se aproxima de 0 e de 2:
Agora, o denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do denominador:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, vamos calcular o limite da nova função:
Substituindo por 0 e por 2:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Usando a definição de limite, mostre que:
Para quais valores da constante k a função f é contínua em ?
(a)
Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais: