Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos provar que o limite
não existe usando o teste dos caminhos. Isso significa que vamos verificar se, ao nos aproximarmos do ponto por diferentes trajetórias (caminhos), obtemos valores de limite diferentes. Se isso acontecer, o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo por , onde . Assim, nossa função fica:
Isso facilita a análise, já que agora estamos nos aproximando de no sistema de coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos de e calcular o limite ao longo de cada um deles.
Primeiro caminho:
Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Segundo caminho:
Substituindo na função:
Novamente, o limite é 0 ao longo desse caminho.

Passo 5

Terceiro caminho:
Vamos escolher uma relação geral entre e , onde é um expoente que vamos determinar. Substituindo :
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme para diferentes valores de .

Passo 6

Vamos escolher , ou seja, .
Substituindo na expressão:
Fatorando no denominador:
Quando , isso se aproxima de:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 1.

Passo 7

Observamos que ao escolher caminhos diferentes, como ou , obtemos limites distintos ( e , respectivamente). Isso mostra que o limite depende do caminho seguido para .

Resposta

Como conseguimos encontrar diferentes valores de limite ao seguir caminhos distintos para , concluímos que o limite
não existe.

Exercícios relacionados

Usando a definição de limite, mostre que:
Dada a função
Responda: Existe ?
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Para quais valores da constante k a função f é contínua em ?
(a)