Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: lim (x, y) (3,0) (x-3)^2 y(x-3)^3+y^5

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos provar que o limite
lim (x, y) (3,0) (x-3)^2 y(x-3)^3+y^5
não existe usando o teste dos caminhos. Isso significa que vamos verificar se, ao nos aproximarmos do ponto por diferentes trajetórias (caminhos), obtemos valores de limite diferentes. Se isso acontecer, o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo h^2 yh^3+y^5 por , onde . Assim, nossa função fica:
Isso facilita a análise, já que agora estamos nos aproximando de no sistema de coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos de h^2 cdot 0h^3+0^5 = 0h^3 = 0 e calcular o limite ao longo de cada um deles.
Primeiro caminho:
Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Segundo caminho: 0^2 cdot y0^3+y^5 = 0y^5 = 0
Substituindo na função:
Novamente, o limite é 0 ao longo desse caminho.

Passo 5

Terceiro caminho: h^2 cdot h^kh^3 + (h^k)^5 = h^2 + kh^3 + h^5k
Vamos escolher uma relação geral entre e , onde é um expoente que vamos determinar. Substituindo :
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme para diferentes valores de .

Passo 6

Vamos escolher h^2 + 1h^3 + h^5 cdot 1 = h^3h^3 + h^5, ou seja, h^3h^3(1 + h^2) = 11 + h^2.
Substituindo na expressão:
11 + 0 = 1
Fatorando no denominador:
Quando , isso se aproxima de:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 1.

Passo 7

Observamos que ao escolher caminhos diferentes, como ou , obtemos limites distintos ( e , respectivamente). Isso mostra que o limite depende do caminho seguido para .

Resposta

Como conseguimos encontrar diferentes valores de limite ao seguir caminhos distintos para lim (x, y) (3,0) (x-3)^2 y(x-3)^3+y^5, concluímos que o limite
não existe.

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