Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos provar que o limite
não existe usando o teste dos caminhos. Isso significa que vamos verificar se, ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes trajetórias (caminhos), obtemos valores de limite diferentes. Se isso acontecer, o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo
por
, onde
. Assim, nossa função fica:
Isso facilita a análise, já que agora estamos nos aproximando de
no sistema de coordenadas
.
Passo 3
Agora, vamos escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos de
e calcular o limite ao longo de cada um deles.
Primeiro caminho:
Substituindo
na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Segundo caminho:
Substituindo
na função:
Novamente, o limite é 0 ao longo desse caminho.
Passo 5
Terceiro caminho:
Vamos escolher uma relação geral entre
e
, onde
é um expoente que vamos determinar. Substituindo
:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme
para diferentes valores de
.
Passo 6
Vamos escolher
, ou seja,
.
Substituindo na expressão:
Fatorando
no denominador:
Quando
, isso se aproxima de:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 1.
Passo 7
Observamos que ao escolher caminhos diferentes, como
ou
, obtemos limites distintos (
e
, respectivamente). Isso mostra que o limite depende do caminho seguido para
.
Resposta
Como conseguimos encontrar diferentes valores de limite ao seguir caminhos distintos para
, concluímos que o limite
não existe.