Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos provar que o limite
não existe usando o teste dos caminhos. Isso significa que vamos verificar se, ao nos aproximarmos do ponto por diferentes trajetórias (caminhos), obtemos valores de limite diferentes. Se isso acontecer, o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo por , onde . Assim, nossa função fica:
Isso facilita a análise, já que agora estamos nos aproximando de no sistema de coordenadas .
Passo 3
Agora, vamos escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos de e calcular o limite ao longo de cada um deles.
Primeiro caminho:
Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Segundo caminho:
Substituindo na função:
Novamente, o limite é 0 ao longo desse caminho.
Passo 5
Terceiro caminho:
Vamos escolher uma relação geral entre e , onde é um expoente que vamos determinar. Substituindo :
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme para diferentes valores de .
Passo 6
Vamos escolher , ou seja, .
Substituindo na expressão:
Fatorando no denominador:
Quando , isso se aproxima de:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 1.
Passo 7
Observamos que ao escolher caminhos diferentes, como ou , obtemos limites distintos ( e , respectivamente). Isso mostra que o limite depende do caminho seguido para .
Resposta
Como conseguimos encontrar diferentes valores de limite ao seguir caminhos distintos para , concluímos que o limite