Para quais valores da constante k a função f é contínua em (-infinito, infinito) ?
(a) f(x) = { k*x² + 2*x, se x < 2; x³ - k*x, se x ≥ 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de que fazem a função ser contínua em todo o conjunto dos números reais. A função é definida de maneira diferente para e para . Para resolver isso, vamos focar no ponto onde a definição muda, que é em , e garantir que não haja “saltos” ali.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda (ou seja, usando a parte da função para ). A expressão para essa parte é . Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita (usando a parte da função para ). A expressão aqui é . Substituindo :

Passo 4

Para que a função seja contínua em , os dois limites que calculamos precisam ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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