Usando a definição de limite, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de pela direita é igual a . Vamos usar a definição de limite, que é uma forma rigorosa de mostrar que uma função se aproxima de um certo valor conforme a variável se aproxima de um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender o que significa o limite à direita e como trabalhar com a definição usando (épsilon).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de pela direita (ou seja, valores maiores que ), o valor de fica cada vez mais próximo de .

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de limite à direita. Dizemos que para todo , existe um tal que se , então . Basicamente, queremos encontrar um pequeno o suficiente para garantir que fique menor que qualquer que a gente escolher.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Isso fica simplesmente . Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado: . Assim, .

Passo 5

Queremos que . Da condição anterior, sabemos que . Então, para garantir que isso aconteça, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos .

Passo 6

Com isso, mostramos que para qualquer , podemos escolher de forma que sempre que , então . Isso confirma que o limite realmente é .

Resposta

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Dada a função
Responda: Existe ?
Calcule , onde é o cilindro definido por e 1.
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Calcule, caso existam, os seguintes limites: