Usando a definição de limite, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de
quando
se aproxima de
pela direita é igual a
. Vamos usar a definição de limite, que é uma forma rigorosa de mostrar que uma função se aproxima de um certo valor conforme a variável se aproxima de um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender o que significa o limite à direita e como trabalhar com a definição usando
(épsilon).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de
pela direita (ou seja, valores maiores que
), o valor de
fica cada vez mais próximo de
.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição de limite à direita. Dizemos que para todo
, existe um
tal que se
, então
. Basicamente, queremos encontrar um
pequeno o suficiente para garantir que
fique menor que qualquer
que a gente escolher.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Isso fica simplesmente
. Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
. Assim,
.
Passo 5
Queremos que
. Da condição anterior, sabemos que
. Então, para garantir que isso aconteça, podemos escolher
. Assim, sempre que
, teremos
.
Passo 6
Com isso, mostramos que para qualquer
, podemos escolher
de forma que sempre que
, então
. Isso confirma que o limite realmente é
.