Usando a definição de limite, mostre que: lim x 4^+ raizx-4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de raizx-4 quando x se aproxima de 4 pela direita é igual a 0. Vamos usar a definição de limite, que é uma forma rigorosa de mostrar que uma função se aproxima de um certo valor conforme a variável se aproxima de um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender o que significa o limite à direita e como trabalhar com a definição usando epsilon (épsilon).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa lim x 4^+ raizx-4=0. Isso quer dizer que, à medida que x se aproxima de 4 pela direita (ou seja, valores maiores que 4), o valor de raizx-4 fica cada vez mais próximo de 0.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de limite à direita. Dizemos que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que se 4 < x < 4 + de, então |raizx-4 - 0| < epsilon. Basicamente, queremos encontrar um de pequeno o suficiente para garantir que raizx-4 fique menor que qualquer epsilon que a gente escolher.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão |raizx-4 - 0| < epsilon. Isso fica simplesmente raizx-4 < epsilon. Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado: x - 4 < epsilon^2. Assim, x < 4 + epsilon^2.

Passo 5

Queremos que 4 < x < 4 + de. Da condição anterior, sabemos que x < 4 + epsilon^2. Então, para garantir que isso aconteça, podemos escolher de. Assim, sempre que 0 < x - 4 < de, teremos raizx-4 < epsilon.

Passo 6

Com isso, mostramos que para qualquer epsilon > 0, podemos escolher de de forma que sempre que 4 < x < 4 + de, então raizx-4 < epsilon. Isso confirma que o limite realmente é 0.

Resposta

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