(2,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (-1,1) 2 x^2-3 yx^2 y+3 x y^2-x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de 2(-1)^2 - 3(1) = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1 e (-1)^2(1) + 3(-1)(1)^2 - (-1)(1) = 1 - 3 + 1 = -1 na função para ver se obtemos uma forma indeterminada.
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica . Isso sugere que o limite pode ser 1.

Passo 3

Porém, para ter certeza de que o limite existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de 2x^2 - 3(1)x^2(1) + 3x(1)^2 - x(1) = 2x^2 - 3x^2 + 3x - x = 2x^2 - 3x^2 + 2x por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes, o limite não existe.
Vamos testar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: 2(-1)^2 - 3(-1)^2 + 2(-1) = 2(1) - 31 - 2 = 2 - 3-1 = -1-1 = 1 (aproximando pelo eixo 2(-1)^2 - 3y(-1)^2y + 3(-1)y^2 - (-1)y = 2(1) - 3y1 cdot y - 3y^2 + y = 2 - 3yy - 3y^2 + y = 2 - 3y2y - 3y^2 )
Substituindo 2 - 3(1)2(1) - 3(1)^2 = 2 - 32 - 3 = -1-1 = 1 na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Caminho 2: (aproximando pelo eixo )
Substituindo na função:
Calculando o limite quando :

Passo 4

Como nos dois caminhos testados o limite foi 1, isso indica que o limite pode existir e ser igual a 1. Para confirmar, podemos tentar mais um caminho.
Caminho 3: 2x^2 - 3(x + 2)x^2(x + 2) + 3x(x + 2)^2 - x(x + 2) (uma linha que passa por 2x^2 - 3x - 6 )
Substituindo x^3 + 2x^2 + 3x(x^2 + 4x + 4) - x^2 - 2x = x^3 + 2x^2 + 3x^3 + 12x^2 + 12x - x^2 - 2x = 4x^3 + 13x^2 + 10x na função:
2(-1)^2 - 3(-1) - 64(-1)^3 + 13(-1)^2 + 10(-1) = 2(1) + 3 - 6-4 + 13 - 10 = 2 + 3 - 6-1 = -1-1 = 1
Simplificando o numerador:
Simplificando o denominador:
Agora, calculamos o limite quando :

Resposta

O limite existe e é igual a 1.

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