Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e verificar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de
e
na função para ver se obtemos uma forma indeterminada.
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica
. Isso sugere que o limite pode ser 1.
Passo 3
Porém, para ter certeza de que o limite existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes, o limite não existe.
Vamos testar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
(aproximando pelo eixo
)
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Caminho 2:
(aproximando pelo eixo
)
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Passo 4
Como nos dois caminhos testados o limite foi 1, isso indica que o limite pode existir e ser igual a 1. Para confirmar, podemos tentar mais um caminho.
Caminho 3:
(uma linha que passa por
)
Substituindo
na função:
Simplificando o numerador:
Simplificando o denominador:
Agora, calculamos o limite quando
:
Resposta
O limite
existe e é igual a 1.