Responda as seguintes questões: (g) e são soluções fundamentais da EDO ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem . Isso envolve dois passos principais: primeiro, conferir se cada função realmente satisfaz a EDO, e segundo, verificar se elas são linearmente independentes, ou seja, se não são múltiplas uma da outra. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação.
A derivada primeira de é:
A derivada segunda de é:
Agora, substituímos , e na EDO:
Como a expressão resultante é zero, satisfaz a EDO.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para .
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Também aqui, a expressão resulta em zero, então também é solução da EDO.
Passo 4
Agora que já sabemos que ambas as funções são soluções da EDO, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Para isso, usamos o Wronskiano, que nos ajuda a determinar a independência linear de duas funções.
O Wronskiano é dado por:
Calculando:
Como o Wronskiano não é zero (nesse caso, é que nunca é igual a zero para nenhum valor de ), as funções e são linearmente independentes.