Responda as seguintes questões: (g) y1(x) = e^(5 x) e y2(x) = e^(-3 x) são soluções fundamentais da EDO y'' - 2y' - 15y = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem . Isso envolve dois passos principais: primeiro, conferir se cada função realmente satisfaz a EDO, e segundo, verificar se elas são linearmente independentes, ou seja, se não são múltiplas uma da outra. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação.
A derivada primeira de é:
A derivada segunda de é:
Agora, substituímos , e na EDO:
Como a expressão resultante é zero, satisfaz a EDO.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para .
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Também aqui, a expressão resulta em zero, então também é solução da EDO.

Passo 4

Agora que já sabemos que ambas as funções são soluções da EDO, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Para isso, usamos o Wronskiano, que nos ajuda a determinar a independência linear de duas funções.
O Wronskiano é dado por:
Calculando:
Como o Wronskiano não é zero (nesse caso, é que nunca é igual a zero para nenhum valor de ), as funções e são linearmente independentes.

Resposta

Sim, e são soluções fundamentais da EDO .

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