Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. O sólido limitado pelos paraboloides
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está entre dois paraboloides:
e
. Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular volumes de formas geométricas complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar onde esses dois paraboloides se encontram. Para achar a interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Isso nos mostra que os paraboloides se intersectam quando
, ou seja, em um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Como a região é simétrica em relação ao eixo
, fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
-
-
-
permanece igual
O volume
será dado por:
Aqui,
é o raio que varia de 0 a 2 (o raio do círculo de interseção),
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo, e
varia entre os dois paraboloides.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, com relação a
:
Agora, substituímos de volta na integral dupla:
Vamos resolver a integral com relação a
:
Finalmente, a integral com relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.