Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. O sólido limitado pelos paraboloides y = x^2 + z^2 e y = 8 - x^2 - z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está entre dois paraboloides: e . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular volumes de formas geométricas complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar onde esses dois paraboloides se encontram. Para achar a interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Isso nos mostra que os paraboloides se intersectam quando , ou seja, em um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Como a região é simétrica em relação ao eixo , fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
  • permanece igual
O volume será dado por:
Aqui, é o raio que varia de 0 a 2 (o raio do círculo de interseção), varia de 0 a para cobrir todo o círculo, e varia entre os dois paraboloides.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, com relação a :
Agora, substituímos de volta na integral dupla:
Vamos resolver a integral com relação a :
Finalmente, a integral com relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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