Considere as curvas dadas por e . Determine o produto escalar e o produto vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas no espaço, representadas pelas funções vetoriais e . O que a gente precisa fazer é calcular o produto escalar () e o produto vetorial () dessas duas curvas. Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e vetorial que aprendemos em cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar das duas curvas. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às funções e :
Agora, multiplicamos as componentes correspondentes:
Simplificando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial das duas curvas. O produto vetorial de e é outro vetor que pode ser encontrado usando o determinante de uma matriz 3x3: