Considere as curvas F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = t^2 i + (t + 1) j - t k e G(t) = (t^2 + 1)i + sen(j) + 1/t^2 k. Determine o produto escalar F(t) . G(t) e o produto vetorial F(t) ∧ G(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas no espaço, representadas pelas funções vetoriais e . O que a gente precisa fazer é calcular o produto escalar ( ) e o produto vetorial ( ) dessas duas curvas. Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e vetorial que aprendemos em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar das duas curvas. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às funções e :
Agora, multiplicamos as componentes correspondentes:
Simplificando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial das duas curvas. O produto vetorial de e é outro vetor que pode ser encontrado usando o determinante de uma matriz 3x3:
Aplicando isso às nossas funções:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então, juntando tudo:

Resposta

O produto escalar das curvas e é:
E o produto vetorial é:

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