(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
lim (x, y) (3,0) (x-3)^2 y(x-3)^3+y^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste dos caminhos para mostrar que o limite abaixo não existe:
lim (x, y) (3,0) (x-3)^2 y(x-3)^3+y^5
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis. O teste dos caminhos envolve verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Vamos fazer uma substituição para centralizar o ponto de interesse. Seja:
u = x - 3 e v = y
Assim, quando lim (u, v) (0,0) u^2 vu^3 + v^5 , temos . A expressão do limite fica:
Agora, nosso objetivo é verificar se esse limite existe ou não usando diferentes caminhos que levam a .

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de u^2 cdot 0u^3 + 0^5 = 0u^3 = 0 :
Caminho 1:
Substituindo na expressão:
Então, ao se aproximar pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Caminho 2: 0^2 cdot v0^3 + v^5 = 0v^5 = 0
Agora, substituindo na expressão:
Parece que também dá , mas vamos tentar um caminho diferente para ter certeza.

Passo 5

Caminho 3: u^2 cdot u^ku^3 + (u^k)^5 = u^2 + ku^3 + u^5k onde u^2 + ku^3(1 + u^5k - 3) = u^2 + k - 31 + u^5k - 3 = u^k - 11 + u^5k - 3 é uma constante que vamos escolher.
Vamos substituir u^01 + u^2 = 11 + 0 = 1 na expressão:
limu to 0 u^01 + u^2 = 1
Para simplificar, fatoramos no denominador:
Agora, analisamos o comportamento quando :
  • Se (ou seja, ), o numerador tende a e o denominador tende a , então o limite é .
  • Se (ou seja, ), temos:
  • Se (ou seja, ), o numerador tende a ou , dependendo do sinal de , e o limite não existe.
Vamos escolher , então :

Passo 6

Conseguimos dois limites diferentes pelos caminhos escolhidos:
  • Pelo caminho : limite é .
  • Pelo caminho : limite é .
Como os limites são diferentes, podemos concluir que o limite original não existe.

Resposta

O limite
lim (x, y) (3,0) (x-3)^2 y(x-3)^3+y^5
não existe, pois os limites obtidos por diferentes caminhos são distintos.

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