Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste dos caminhos para mostrar que o limite abaixo não existe:
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis. O teste dos caminhos envolve verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Vamos fazer uma substituição para centralizar o ponto de interesse. Seja:
Assim, quando
, temos
. A expressão do limite fica:
Agora, nosso objetivo é verificar se esse limite existe ou não usando diferentes caminhos que levam
a
.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
:
Caminho 1:
Substituindo
na expressão:
Então, ao se aproximar pelo caminho
, o limite é
.
Passo 4
Caminho 2:
Agora, substituindo
na expressão:
Parece que também dá
, mas vamos tentar um caminho diferente para ter certeza.
Passo 5
Caminho 3:
onde
é uma constante que vamos escolher.
Vamos substituir
na expressão:
Para simplificar, fatoramos
no denominador:
Agora, analisamos o comportamento quando
:
- Se
(ou seja, ), o numerador tende a e o denominador tende a , então o limite é . - Se
(ou seja, ), temos:
- Se
(ou seja, ), o numerador tende a ou , dependendo do sinal de , e o limite não existe.
Vamos escolher
, então
:
Passo 6
Conseguimos dois limites diferentes pelos caminhos escolhidos:
- Pelo caminho
: limite é . - Pelo caminho
: limite é .
Como os limites são diferentes, podemos concluir que o limite original não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois os limites obtidos por diferentes caminhos são distintos.
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Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).