Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste dos caminhos para mostrar que o limite abaixo não existe:
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis. O teste dos caminhos envolve verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Vamos fazer uma substituição para centralizar o ponto de interesse. Seja:
Assim, quando , temos . A expressão do limite fica:
Agora, nosso objetivo é verificar se esse limite existe ou não usando diferentes caminhos que levam a .

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de :
Caminho 1:
Substituindo na expressão:
Então, ao se aproximar pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Caminho 2:
Agora, substituindo na expressão:
Parece que também dá , mas vamos tentar um caminho diferente para ter certeza.

Passo 5

Caminho 3: onde é uma constante que vamos escolher.
Vamos substituir na expressão:
Para simplificar, fatoramos no denominador:
Agora, analisamos o comportamento quando :
  • Se (ou seja, ), o numerador tende a e o denominador tende a , então o limite é .
  • Se (ou seja, ), temos:
  • Se (ou seja, ), o numerador tende a ou , dependendo do sinal de , e o limite não existe.
Vamos escolher , então :

Passo 6

Conseguimos dois limites diferentes pelos caminhos escolhidos:
  • Pelo caminho : limite é .
  • Pelo caminho : limite é .
Como os limites são diferentes, podemos concluir que o limite original não existe.

Resposta

O limite
não existe, pois os limites obtidos por diferentes caminhos são distintos.

Exercícios relacionados

Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Considere as curvas dadas por . Determine o produto escalar e o produto vetorial .
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).