(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 2 x^4-3 y^3x^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que o limite
lim(x, y) (0,0) 2x^4 - 3y^3x^4 + y^2
não existe usando o teste dos caminhos. Basicamente, isso quer dizer que a gente vai tentar calcular o limite seguindo diferentes trajetórias que chegam no ponto e ver se os resultados são diferentes. Se forem, já garantimos que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as coisas e calcular o limite ao longo do eixo x. Isso significa que vamos considerar 2x^4 - 3(0)^3x^4 + (0)^2 = 2x^4x^4 = 2 e ver o que acontece com a função quando se aproxima de 0.
Substituindo na função:
Então, quando a gente se aproxima de pelo eixo x, o limite é 2.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo, mas dessa vez ao longo do eixo y. Ou seja, vamos considerar 2(0)^4 - 3y^3(0)^4 + y^2 = -3y^3y^2 = -3y e ver o que acontece quando limy 0 -3y = 0 se aproxima de 0.
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando se aproxima de 0:
Então, quando a gente se aproxima de pelo eixo y, o limite é 0.

Passo 4

Agora, dá pra ver que os limites ao longo dos dois caminhos são diferentes:
  • Pelo eixo x: o limite é 2.
  • Pelo eixo y: o limite é 0.
Como esses valores são diferentes, isso significa que o limite geral não existe. Em outras palavras, a função se comporta de maneiras diferentes dependendo de como você se aproxima de , então não tem um único valor que seja o limite nesse ponto.

Resposta

O limite
lim(x, y) (0,0) 2x^4 - 3y^3x^4 + y^2
não existe.

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