Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que o limite
não existe usando o teste dos caminhos. Basicamente, isso quer dizer que a gente vai tentar calcular o limite seguindo diferentes trajetórias que chegam no ponto
e ver se os resultados são diferentes. Se forem, já garantimos que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as coisas e calcular o limite ao longo do eixo x. Isso significa que vamos considerar
e ver o que acontece com a função quando
se aproxima de 0.
Substituindo
na função:
Então, quando a gente se aproxima de
pelo eixo x, o limite é 2.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo, mas dessa vez ao longo do eixo y. Ou seja, vamos considerar
e ver o que acontece quando
se aproxima de 0.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
se aproxima de 0:
Então, quando a gente se aproxima de
pelo eixo y, o limite é 0.
Passo 4
Agora, dá pra ver que os limites ao longo dos dois caminhos são diferentes:
- Pelo eixo x: o limite é 2.
- Pelo eixo y: o limite é 0.
Como esses valores são diferentes, isso significa que o limite geral não existe. Em outras palavras, a função se comporta de maneiras diferentes dependendo de como você se aproxima de
, então não tem um único valor que seja o limite nesse ponto.
Resposta
O limite
não existe.