Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yraizx^2+y^2 omega

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yraizx^2+y^2
Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis, e , que estão se aproximando de . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com limites que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = r cos(theta) e y = r sin(theta) para coordenadas polares :
Aqui, é a distância da origem ao ponto e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir 3 x^2 yraizx^2+y^2 = 3 (r cos(theta))^2 (r sin(theta))raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e na expressão original com essas novas expressões:

Passo 4

Simplificando a expressão no denominador:
raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = raizr^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = raizr^2 cdot 1 = r
Então, substituindo de volta na expressão:
3 (r cos(theta))^2 (r sin(theta))r = 3 r^2 cos^2(theta) sin(theta)

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento dessa expressão conforme 3 r^2 cos^2(theta) sin(theta) :
Sabemos que e estão sempre limitados entre -1 e 1, então o que mais importa aqui é o termo .

Passo 6

Conforme limr 0 3 r^2 cos^2(theta) sin(theta) = 0 , . Isso significa que toda a expressão tende a zero, independentemente do valor de :

Resposta

lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yraizx^2+y^2 = 0

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