Considere a integral
onde
.
Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Nós temos uma integral tripla definida sobre uma região
no espaço tridimensional. A integral é:
O objetivo aqui é reescrever essa integral em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração que definem a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região
. A definição dada é:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar. O primeiro limite nos diz que
varia de 0 até
. Vamos resolver isso para encontrar os limites de
.
Passo 3
Resolvendo a inequação
:
Primeiro, elevamos ao quadrado ambos os lados da desigualdade:
Somando
em ambos os lados:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, temos os limites de
. Vamos olhar para
:
. Isso é direto.
Para
, temos
. Isso indica que
varia desde 0 até a superfície de uma esfera com raio 3 (já que
).
Passo 5
Com esses limites, podemos reescrever a integral em coordenadas cartesianas. Lembrando que a integral tripla em cartesianas é dada por:
Então, substituindo
e os limites que encontramos:
Resposta
A integral em coordenadas cartesianas fica: