Considere a integral
integral duplaE integralE z raizx^2+y^2+z^2 d V
onde E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= raiz9-x^2, 0 <= y <= 3,0 <= z <= raiz9-x^2-y^2.
Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Nós temos uma integral tripla definida sobre uma região integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 , dV no espaço tridimensional. A integral é:
O objetivo aqui é reescrever essa integral em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração que definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região E = (x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= raiz9 - x^2, 0 <= y <= 3, 0 <= z <= raiz9 - x^2 - y^2 . A definição dada é:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar. O primeiro limite nos diz que varia de 0 até . Vamos resolver isso para encontrar os limites de .

Passo 3

Resolvendo a inequação x^2 <= 9 - x^2 :
Primeiro, elevamos ao quadrado ambos os lados da desigualdade:
2x^2 <= 9 x^2 <= 92 x <= 3raiz2 approx 2.12
Somando em ambos os lados:
Então, varia de 0 a .

Passo 4

Agora, temos os limites de . Vamos olhar para : . Isso é direto.
Para , temos . Isso indica que varia desde 0 até a superfície de uma esfera com raio 3 (já que ).

Passo 5

Com esses limites, podemos reescrever a integral em coordenadas cartesianas. Lembrando que a integral tripla em cartesianas é dada por:
integral triplaE f(x, y, z) , dz , dy , dx
Então, substituindo integral0^3raiz2 integral0^3 integral0^raiz9 - x^2 - y^2 z raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx e os limites que encontramos:

Resposta

A integral em coordenadas cartesianas fica:
integral0^3raiz2 integral0^3 integral0^raiz9 - x^2 - y^2 z raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx

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