Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluções da forma
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de terceira ordem:
E queremos encontrar os valores de
que fazem a solução ter a forma
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e equações características.
Passo 2
Primeiro, substituímos a forma da solução
na equação diferencial. Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, substituímos
,
,
e
na equação original:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, a equação se reduz a:
Passo 5
Fatorando a equação característica:
Passo 6
Encontramos as raízes da equação característica:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equa��ão são
,
e
.