Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluções da forma y = e^(r t). d^3y/dt^3 - 3d^2y/dt^2 + 2dy/dt = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de terceira ordem:
E queremos encontrar os valores de que fazem a solução ter a forma . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e equações características.

Passo 2

Primeiro, substituímos a forma da solução na equação diferencial. Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, substituímos , , e na equação original:

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Como nunca é zero, a equação se reduz a:

Passo 5

Fatorando a equação característica:

Passo 6

Encontramos as raízes da equação característica:

Resposta

Os valores de que satisfazem a equa��ão são , e .

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