Calcule, caso existam, os seguintes linites:
lim (x, y) (0,0) 3 x^4 yx^4+y^4

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, consideramos o caminho onde 3x^4 (k x)x^4 + (k x)^4 = 3k x^5x^4 + k^4x^4 = 3k x^5x^4(1 + k^4) = 3k x1 + k^4 , sendo uma constante qualquer. Substituindo por na expressão do limite, temos:
À medida que se aproxima de , também se aproxima de . Portanto, por esse caminho, o limite é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o caminho onde 3(0)^4 y(0)^4 + y^4 = 0y^4 = 0 . Substituindo na expressão do limite:
Nesse caso, o limite também é .

Passo 4

Vamos testar um caminho diferente, por exemplo, 3x^4 x^mx^4 + x^4m = 3x^4 + mx^4(1 + x^4m - 4) = 3x^m1 + x^4m - 4 , onde é um número real positivo. Substituindo na expressão do limite:
Analisando o comportamento para :
  • Se (ou seja, ), então e o limite .
  • Se , voltamos ao caso anterior onde o limite é .
  • Se , então e o limite .
Em todos os casos, o limite é .

Passo 5

Como testamos diferentes caminhos de aproximação e em todos eles o limite resultou em , podemos concluir que o limite existe e é igual a .

Resposta

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