Calcule, caso existam, os seguintes linites:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, consideramos o caminho onde
, sendo
uma constante qualquer. Substituindo
por
na expressão do limite, temos:
À medida que
se aproxima de
,
também se aproxima de
. Portanto, por esse caminho, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caminho onde
. Substituindo
na expressão do limite:
Nesse caso, o limite também é
.
Passo 4
Vamos testar um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é um número real positivo. Substituindo na expressão do limite:
Analisando o comportamento para
:
- Se
(ou seja, ), então e o limite . - Se
, voltamos ao caso anterior onde o limite é . - Se
, então e o limite .
Em todos os casos, o limite é
.
Passo 5
Como testamos diferentes caminhos de aproximação e em todos eles o limite resultou em
, podemos concluir que o limite existe e é igual a
.