Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:
lim (x, y) (0,-2) x(y+2)^2x^2+(y+2)^4

Passo 1

Beleza, então a gente tem que provar que o limite não existe usando o teste dos caminhos. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente sobre limites multivariáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como os limites funcionam em várias direções e como escolher diferentes caminhos para testar se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste dos caminhos. A ideia é que se a gente calcular o limite da função ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos e encontrar resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher o primeiro caminho: vamos aproximar para seguindo a linha onde . Ou seja, fixamos e deixamos se aproximar de 0.

Passo 4

Substituindo x( (-2)+2)^2x^2 + ((-2)+2)^4 = x(0)^2x^2 + 0^4 = 0x^2 = 0 na função, temos:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 5

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente. Vamos considerar que , onde é uma constante. Isso significa que . Vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0.

Passo 6

Substituindo x(kx^1/2)^2x^2 + (kx^1/2)^4 = x(k^2 x)x^2 + k^4 x^2 = k^2 x^2x^2(1 + k^4) = k^21 + k^4 na função, temos:
Esse limite não depende de e depende apenas de . Ou seja, dependendo do valor de , o limite pode ser diferente de 0.

Passo 7

Observamos que ao seguir o primeiro caminho, o limite foi 0, e ao seguir o segundo caminho, o limite foi , que pode variar conforme . Como obtenhamos limites diferentes por caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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