Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites: $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,-2)} \frac{x(y+2)^{2}}{x^{2}+(y+2)^{4}}$

Passo 1

Beleza, então a gente tem que provar que o limite não existe usando o teste dos caminhos. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente sobre limites multivariáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como os limites funcionam em várias direções e como escolher diferentes caminhos para testar se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste dos caminhos. A ideia é que se a gente calcular o limite da função ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos e encontrar resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher o primeiro caminho: vamos aproximar para seguindo a linha onde . Ou seja, fixamos e deixamos se aproximar de 0.

Passo 4

Substituindo na função, temos:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 5

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente. Vamos considerar que , onde é uma constante. Isso significa que . Vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0.

Passo 6

Substituindo na função, temos:
Esse limite não depende de e depende apenas de . Ou seja, dependendo do valor de , o limite pode ser diferente de 0.

Passo 7

Observamos que ao seguir o primeiro caminho, o limite foi 0, e ao seguir o segundo caminho, o limite foi , que pode variar conforme . Como obtenhamos limites diferentes por caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:
<html><head></head><body><ul>
<li>Encontre a inversa da matriz A usando o método de decomposição LU, use U e L dadas abaixo. Utilize 4 casas decimais.</li>
</ul>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -3.733ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“25.709ex” height=“8.597ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2150 11363.6 3800”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“5B” d=“M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(278,0)”><path data-c=“1D434” d=“M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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Aplicando <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.734ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 6070.6 1000”><title>U = [[3, -0.1, -0.2], [0, 7.00333, -0.293333], [0, 0, 10.0120]] L = [[1, 0, 0], [0.0333333, 1, 0], [0.100000, -0.0271300, 1]]</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“50” d=“M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H214Q237 683 276 683T331 684Q419 684 471 671T567 616Q624 563 624 489Q624 421 573 372T451 307Q429 302 328 301H234V181Q234 62 237 58Q245 47 304 46H337V0H326Q305 3 182 3Q47 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM507 488Q507 514 506 528T500 564T483 597T450 620T397 635Q385 637 307 637H286Q237 637 234 628Q231 624 231 483V342H302H339Q390 342 423 349T481 382Q507 411 507 488Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(958.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(2014.6,0)”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“5B” d=“M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z”></path></g><g data-mml-node=“mtable” transform=“translate(278,0)”><g data-mml-node=“mtr”><g data-mml-node=“mtd”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mtd” transform=“translate(1500,0)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mtd” transform=“translate(3000,0)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path></g></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3778,0)”><path data-c=“5D” d=“M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
Calcule, caso existam, os seguintes linites:
<html><head></head><body><div>Determine as probabilidades de: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.689ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 9586.4 1000”><title>P(-1,60 < Z < 1,40)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D443” d=“M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(751,0)”><path 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