Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que provar que o limite
não existe usando o teste dos caminhos. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente sobre limites multivariáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como os limites funcionam em várias direções e como escolher diferentes caminhos para testar se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o teste dos caminhos. A ideia é que se a gente calcular o limite da função ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos e encontrar resultados diferentes, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher o primeiro caminho: vamos aproximar
para
seguindo a linha onde
. Ou seja, fixamos
e deixamos
se aproximar de 0.
Passo 4
Substituindo
na função, temos:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 5
Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente. Vamos considerar que
, onde
é uma constante. Isso significa que
. Vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 0.
Passo 6
Substituindo
na função, temos:
Esse limite não depende de
e depende apenas de
. Ou seja, dependendo do valor de
, o limite pode ser diferente de 0.
Passo 7
Observamos que ao seguir o primeiro caminho, o limite foi 0, e ao seguir o segundo caminho, o limite foi
, que pode variar conforme
. Como obtenhamos limites diferentes por caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.