Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o teste dos caminhos! Primeiro, o enunciado quer provar que o limite não existe. Isso significa que, dependendo do caminho que a gente escolher para chegar em , o resultado do limite pode variar.

Passo 2

O que é o teste dos caminhos? É uma técnica para verificar se o limite de uma função de duas variáveis existe. A ideia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se os limites forem diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para calcular o limite:
  1. Caminho 1:
  2. Caminho 2: (onde é um número que vamos determinar)

Passo 4

Calculando pelo Caminho 1:
Substituindo na função:
Aqui, o denominador é zero e o numerador é , que tende a zero. Esse caso nos leva a uma indeterminação, mas como o numerador é negativo e o denominador se aproxima de zero, o limite tende a .

Passo 5

Calculando pelo Caminho 2: Vamos escolher
Substituindo na função:
Agora, quando :
Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 6

Comparando os resultados:
  • Pelo Caminho 1 ( ): o limite tende a
  • Pelo Caminho 2 ( ): o limite é
Como os limites são diferentes, isso confirma que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, já que diferentes caminhos para resultam em valores de limite distintos.

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Aplicando
Considere a funçãy daḑa por
Mostre que é contínua no ponto . Justifique a sua resposta.
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:
Calcule, caso existam, os seguintes linites: