Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o teste dos caminhos! Primeiro, o enunciado quer provar que o limite não existe. Isso significa que, dependendo do caminho que a gente escolher para chegar em , o resultado do limite pode variar.
Passo 2
O que é o teste dos caminhos? É uma técnica para verificar se o limite de uma função de duas variáveis existe. A ideia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se os limites forem diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para calcular o limite:
Caminho 1:
Caminho 2: (onde é um número que vamos determinar)
Passo 4
Calculando pelo Caminho 1:
Substituindo na função:
Aqui, o denominador é zero e o numerador é , que tende a zero. Esse caso nos leva a uma indeterminação, mas como o numerador é negativo e o denominador se aproxima de zero, o limite tende a .
Passo 5
Calculando pelo Caminho 2: Vamos escolher
Substituindo na função:
Agora, quando :
Então, pelo caminho , o limite é .
Passo 6
Comparando os resultados:
Pelo Caminho 1 (): o limite tende a
Pelo Caminho 2 (): o limite é
Como os limites são diferentes, isso confirma que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, já que diferentes caminhos para resultam em valores de limite distintos.