Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o teste dos caminhos! Primeiro, o enunciado quer provar que o limite
não existe. Isso significa que, dependendo do caminho que a gente escolher para chegar em
, o resultado do limite pode variar.
Passo 2
O que é o teste dos caminhos? É uma técnica para verificar se o limite de uma função de duas variáveis existe. A ideia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
. Se os limites forem diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para calcular o limite:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
(onde é um número que vamos determinar)
Passo 4
Calculando pelo Caminho 1:
Substituindo
na função:
Aqui, o denominador é zero e o numerador é
, que tende a zero. Esse caso nos leva a uma indeterminação, mas como o numerador é negativo e o denominador se aproxima de zero, o limite tende a
.
Passo 5
Calculando pelo Caminho 2: Vamos escolher
Substituindo
na função:
Agora, quando
:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 6
Comparando os resultados:
- Pelo Caminho 1 (
): o limite tende a - Pelo Caminho 2 (
): o limite é
Como os limites são diferentes, isso confirma que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, já que diferentes caminhos para
resultam em valores de limite distintos.