Calcule caso os limites existam. Justifique.
5. , onde é dada

Passo 1

Vamos resolver o limite , onde a função é definida por:
Neste exercício, estamos trabalhando com limites de funções definidas por partes. Precisamos verificar se o limite existe analisando o comportamento da função quando se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Se os limites laterais forem iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ). Nessa região, , então usamos a parte da função .
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ). Nessa região, , então usamos a parte da função .
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, simplificando:

Resposta

Como os limites laterais são iguais ( ), o limite existe e é igual a .

Exercícios relacionados

Considere a reta de equação e o ponto de coordenadas . Ache a equação da circunferência com centro em P e tangente à reta .
(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo com :
Calcule o Primeiro Limite Fundamental
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
Encontre uma representação em série de potências para a função . Qual é o raio de convergência?
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para .
© Ao colocar no seu resultado da parte (a), expresse como a soma de uma série infinita.