Calcule caso os limites existam. Justifique.
5.
, onde
é dada
5.
Passo 1
Vamos resolver o limite
, onde a função
é definida por:
Neste exercício, estamos trabalhando com limites de funções definidas por partes. Precisamos verificar se o limite existe analisando o comportamento da função quando
se aproxima de 1 pela direita (
) e pela esquerda (
). Se os limites laterais forem iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
). Nessa região,
, então usamos a parte da função
.
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
). Nessa região,
, então usamos a parte da função
.
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, simplificando:
Resposta
Como os limites laterais são iguais (
), o limite
existe e é igual a
.