Calcule caso os limites existam. Justifique.
5. lim x 1 f(x)-f(1)x-1, onde f(x) é dada
= x^2, & x >= 1 2 x-1, & x<1

Passo 1

Vamos resolver o limite f(x) = x^2, & x >= 1 2x - 1, & x < 1 , onde a função é definida por:
Neste exercício, estamos trabalhando com limites de funções definidas por partes. Precisamos verificar se o limite existe analisando o comportamento da função quando se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Se os limites laterais forem iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando limx to 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = limx to 1^+ x^2 - 1^2x - 1 = limx to 1^+ x^2 - 1x - 1 se aproxima de 1 pela direita ( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ). Nessa região, limx to 1^+ (x - 1)(x + 1)x - 1 = limx to 1^+ (x + 1) = 1 + 1 = 2 , então usamos a parte da função .
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 1^- f(x) - f(1)x - 1 = limx to 1^- (2x - 1) - 1x - 1 = limx to 1^- 2x - 2x - 1 se aproxima de 1 pela esquerda ( 2x - 2 = 2(x - 1) ). Nessa região, limx to 1^- 2(x - 1)x - 1 = limx to 1^- 2 = 2 , então usamos a parte da função .
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, simplificando:

Resposta

Como os limites laterais são iguais ( ), o limite existe e é igual a .

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