Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A primeira parte pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de séries de potências e técnicas de integração de séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser representada como uma série geométrica. Sabemos que:
Passo 3
Agora, para obter a série de potências para , vamos integrar a série termo a termo. Sabemos que:
Passo 4
Integrando cada termo, temos:
Como , a constante de integração é zero. Portanto:
Passo 5
Então, a representação em série de potências para é:
Passo 6
Agora, para determinar o raio de convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão. Observamos que os coeficientes .