Encontre uma representação em série de potências para a função f(x) = ln(1+x). Qual é o raio de convergência?
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f(x) = x ln(1-x).
© Ao colocar x = 1/2 no seu resultado da parte (a), expresse ln(2) como a soma de uma série infinita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A primeira parte pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de séries de potências e técnicas de integração de séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser representada como uma série geométrica. Sabemos que:

Passo 3

Agora, para obter a série de potências para , vamos integrar a série termo a termo. Sabemos que:

Passo 4

Integrando cada termo, temos:
Como , a constante de integração é zero. Portanto:

Passo 5

Então, a representação em série de potências para é:

Passo 6

Agora, para determinar o raio de convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão. Observamos que os coeficientes .
Calculando o limite:

Passo 7

O raio de convergência é dado por . Como , temos:

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o raio de convergência dessa série é .

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