(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo x com |x| < pi / 2 :
cos(x) < sen(x)/x < 1
Calcule o Primeiro Limite Fundamental

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que, para todo com , a seguinte desigualdade é verdadeira:
Além disso, precisamos calcular o Primeiro Limite Fundamental, que é um conceito importante no cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades das funções seno e cosseno, além de aplicar técnicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade . Essa desigualdade compara a função com as funções cosseno e a constante 1 dentro do intervalo .
Para mostrar que , podemos considerar o intervalo dado e analisar o comportamento das funções seno e cosseno. Sabemos que para , é crescente e é decrescente. Além disso, e .
Dividindo ambos os lados de por (que é positivo no intervalo considerado), obtemos . Como para , então , confirmando a segunda parte da desigualdade.
Para a primeira parte, sabemos que é sempre menor que 1 nesse intervalo, e ao comparar com , observamos que está abaixo de , completando a desigualdade.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Primeiro Limite Fundamental, que é:
Esse limite é fundamental porque aparece frequentemente em cálculo, especialmente na derivação de funções trigonométricas.
Para calcular esse limite, usamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich), que nos permite “apertar” a função entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Sabemos que:
E sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Confronto:

Resposta

O Primeiro Limite Fundamental é igual a .

Exercícios relacionados