(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo
com
:
Calcule o Primeiro Limite Fundamental
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que, para todo
com
, a seguinte desigualdade é verdadeira:
Além disso, precisamos calcular o Primeiro Limite Fundamental, que é um conceito importante no cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades das funções seno e cosseno, além de aplicar técnicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a desigualdade
. Essa desigualdade compara a função
com as funções cosseno e a constante 1 dentro do intervalo
.
Para mostrar que
, podemos considerar o intervalo dado e analisar o comportamento das funções seno e cosseno. Sabemos que para
,
é crescente e
é decrescente. Além disso,
e
.
Dividindo ambos os lados de
por
(que é positivo no intervalo considerado), obtemos
. Como
para
, então
, confirmando a segunda parte da desigualdade.
Para a primeira parte, sabemos que
é sempre menor que 1 nesse intervalo, e ao comparar com
, observamos que
está abaixo de
, completando a desigualdade.
Passo 3
Agora, vamos calcular o Primeiro Limite Fundamental, que é:
Esse limite é fundamental porque aparece frequentemente em cálculo, especialmente na derivação de funções trigonométricas.
Para calcular esse limite, usamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich), que nos permite “apertar” a função
entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Sabemos que:
E sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
O Primeiro Limite Fundamental é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
.
©
Considere a reta
de equação
e o ponto
de coordenadas
. Ache a equação da circunferência
com centro em P e tangente à reta
.
Calcule caso os limites existam. Justifique.
5. , onde
é dada
5.