Considere a reta r de equação Y = 2 x + 1 e o ponto P de coordenadas (4, -1). Ache a equação da circunferência C com centro em P e tangente à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta r com a equação e um ponto P que está nas coordenadas . O objetivo aqui é encontrar a equação da circunferência C que tem o centro em P e que é tangente à reta r. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre circunferências e a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em e raio r é:

No nosso caso, o centro P é , então já temos e . Fica:

Passo 3

Agora, para achar o valor de r, precisamos saber a distância entre o centro da circunferência e a reta r dada por . Esse valor de distância vai ser exatamente o raio da nossa circunferência, já que ela é tangente à reta.

Passo 4

A fórmula para calcular a distância d entre um ponto e uma reta é:

Vamos reescrever a equação da reta r na forma geral:
Então, , , e .

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância com o ponto :

Simplificando a fração:
Portanto, o raio r da circunferência é .

Passo 6

Agora que temos o centro e o raio, podemos escrever a equação completa da circunferência C:

Simplificando o lado direito:

Resposta

A equação da circunferência C é:

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