Calcule caso os limites existam. Justifique. , onde é dada

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda da expressão . Isso envolve o conceito de limites em cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função próxima a um ponto específico.

Passo 2

Para resolver esse limite, vamos precisar saber como a função se comporta perto de e . Se for contínua nesses pontos, podemos substituir diretamente. Mas se não for, teremos que analisar os valores à esquerda de 2.

Passo 3

Vamos assumir que é contínua em e . Então, podemos calcular e diretamente. A continuidade nos permite substituir pelo valor para o qual estamos calculando o limite.

Passo 4

Substituímos por 2 na função:
E no denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se existe. Se ambos e são números reais bem definidos, então o limite existe e é igual a essa diferença.

Passo 6

Portanto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda é:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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Uma função diferenciável tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a -1 na direção . Calcule em que é o versor de .
Resolva as seguintes desigualdades:
c)