Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a -1 na direção
. Calcule
em que
é o versor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável
no ponto (1,1). Sabemos que a derivada direcional dessa função nessa direção específica
é igual a -1. Nosso objetivo é descobrir qual é a derivada direcional
, onde
é o versor (ou seja, o vetor unitário) da direção
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, vetores unitários e como elas se relacionam com o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor
no ponto
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
, e
representa o produto escalar. O vetor
é o versor na direção de
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à informação que temos. Sabemos que:
Então, temos:
Calculando a magnitude de
:
Então, a equação fica:
Passo 4
Isso simplifica para:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 5
Agora, queremos encontrar
, onde
é o versor de
. Primeiro, vamos achar o versor de
:
Então,
Passo 6
Usando a fórmula da derivada direcional novamente:
Passo 7
Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas
e
. Vamos reescrever as equações que temos:
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, vamos resolver a equação (1) para uma das derivadas e substituir na equação (2).
Passo 8
Vamos resolver a equação (1) para
:
Vamos isolar
:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação (2):
Simplificando:
Passo 10
Para achar uma relação, vamos supor que o gradiente
é perpendicular às direções das derivadas. No entanto, como temos apenas uma equação com duas incógnitas, precisamos de mais informação ou uma abordagem diferente. Nesse caso, podemos reconhecer que o valor da derivada direcional em qualquer direção depende do ângulo entre o gradiente e a direção escolhida. Por��m, sem mais informações, não podemos determinar
e
exatamente.
Mas, percebendo que queremos a derivada direcional na direção
, podemos utilizar a relação entre as derivadas direcionais conhecidas para encontrar o resultado direto.
Passo 11
Outra abordagem é reconhecer que a derivada direcional em qualquer direção
é proporcional ao gradiente da função. Sabemos que:
Dado que em uma direção específica
a derivada é -1, podemos usar isso para encontrar a relação entre os componentes do gradiente e, em seguida, calcular em outra direção.
Passo 12
Assumindo que o gradiente
, temos:
Para encontrar
, usamos:
Passo 13
Resolvendo a equação
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na expressão de
:
Sem uma segunda equação, não podemos determinar
diretamente. Portanto, a resposta geral dependerá de
. Porém, como não temos mais informações, a derivada direcional
permanece expressa em termos de
.
Resposta
Pela relação encontrada, a derivada direcional
é igual a
. Sem informações adicionais sobre
, essa é a expressão mais simplificada possível para a derivada direcional na direção
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
(a)
(a)
Calcule caso os limites existam. Justifique.
, onde
é dada