Uma função diferenciável tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a -1 na direção . Calcule em que é o versor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável no ponto (1,1). Sabemos que a derivada direcional dessa função nessa direção específica é igual a -1. Nosso objetivo é descobrir qual é a derivada direcional , onde é o versor (ou seja, o vetor unitário) da direção . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, vetores unitários e como elas se relacionam com o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor no ponto é dada por:
Aqui, é o gradiente de , e representa o produto escalar. O vetor é o versor na direção de .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à informação que temos. Sabemos que:
Então, temos:
Calculando a magnitude de :
Então, a equação fica:

Passo 4

Isso simplifica para:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 5

Agora, queremos encontrar , onde é o versor de . Primeiro, vamos achar o versor de :
Então,

Passo 6

Usando a fórmula da derivada direcional novamente:

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas e . Vamos reescrever as equações que temos:
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos resolver a equação (1) para uma das derivadas e substituir na equação (2).

Passo 8

Vamos resolver a equação (1) para :
Vamos isolar :

Passo 9

Agora, substituímos na equação (2):
Simplificando:

Passo 10

Para achar uma relação, vamos supor que o gradiente é perpendicular às direções das derivadas. No entanto, como temos apenas uma equação com duas incógnitas, precisamos de mais informação ou uma abordagem diferente. Nesse caso, podemos reconhecer que o valor da derivada direcional em qualquer direção depende do ângulo entre o gradiente e a direção escolhida. Por��m, sem mais informações, não podemos determinar e exatamente.
Mas, percebendo que queremos a derivada direcional na direção , podemos utilizar a relação entre as derivadas direcionais conhecidas para encontrar o resultado direto.

Passo 11

Outra abordagem é reconhecer que a derivada direcional em qualquer direção é proporcional ao gradiente da função. Sabemos que:
Dado que em uma direção específica a derivada é -1, podemos usar isso para encontrar a relação entre os componentes do gradiente e, em seguida, calcular em outra direção.

Passo 12

Assumindo que o gradiente , temos:
Para encontrar , usamos:

Passo 13

Resolvendo a equação , podemos expressar em termos de :
Substituindo na expressão de :
Sem uma segunda equação, não podemos determinar diretamente. Portanto, a resposta geral dependerá de . Porém, como não temos mais informações, a derivada direcional permanece expressa em termos de .

Resposta

Pela relação encontrada, a derivada direcional é igual a . Sem informações adicionais sobre , essa é a expressão mais simplificada possível para a derivada direcional na direção .

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