Resolva as seguintes desigualdades:
c) x^2 + 2|x + 3| - 10 <= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Aqui, a gente está lidando com uma inequação que envolve um termo quadrático ( ) e um valor absoluto ( ). Para resolver isso, vamos dividir a resolução em partes, analisando os diferentes casos que o valor absoluto nos apresenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O significa a distância de até zero na reta numérica. Dependendo do valor de , ele pode ser positivo ou negativo. Por isso, vamos considerar dois casos:
  1. Caso 1:
    Aqui, o que está dentro do valor absoluto é positivo, então .
  2. Caso 2:
    Nesse caso, o que está dentro do valor absoluto é negativo, então .

Passo 3

Analisando o Caso 1: (ou seja, )
Substituímos o valor absoluto na desigualdade original:
Simplificando:
Agora, vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes dessa equação igualando a zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são e . Como , temos:
Como estamos no caso , apenas a raiz está dentro desse intervalo. A inequação será satisfeita entre as raízes, então para entre e . Mas como , a solução para este caso é:

Passo 4

Analisando o Caso 2: (ou seja, )
Aqui, substituímos o valor absoluto:
Simplificando:
Agora, resolvemos a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes:
Usando Bhaskara:
Aproximando :
No caso , apenas a raiz está dentro desse intervalo. A inequação é satisfeita entre as raízes, mas como , a solução para este caso é:

Passo 5

Agora, juntando as soluções dos dois casos:
  • Caso 1:
  • Caso 2:
Portanto, a solução completa é a união desses intervalos:

Resposta

A solução da desigualdade é .

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