Resolva as seguintes desigualdades:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Aqui, a gente está lidando com uma inequação que envolve um termo quadrático (
) e um valor absoluto (
). Para resolver isso, vamos dividir a resolução em partes, analisando os diferentes casos que o valor absoluto nos apresenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O
significa a distância de
até zero na reta numérica. Dependendo do valor de
, ele pode ser positivo ou negativo. Por isso, vamos considerar dois casos:
-
Caso 1:
Aqui, o que está dentro do valor absoluto é positivo, então. -
Caso 2:
Nesse caso, o que está dentro do valor absoluto é negativo, então.
Passo 3
Analisando o Caso 1:
(ou seja,
)
Substituímos o valor absoluto na desigualdade original:
Simplificando:
Agora, vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes dessa equação igualando a zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
e
. Como
, temos:
Como estamos no caso
, apenas a raiz
está dentro desse intervalo. A inequação
será satisfeita entre as raízes, então para
entre
e
. Mas como
, a solução para este caso é:
Passo 4
Analisando o Caso 2:
(ou seja,
)
Aqui, substituímos o valor absoluto:
Simplificando:
Agora, resolvemos a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes:
Usando Bhaskara:
Aproximando
:
No caso
, apenas a raiz
está dentro desse intervalo. A inequação
é satisfeita entre as raízes, mas como
, a solução para este caso é:
Passo 5
Agora, juntando as soluções dos dois casos:
- Caso 1:
- Caso 2:
Portanto, a solução completa é a união desses intervalos:
Resposta
A solução da desigualdade é
.
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, onde
é dada
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seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
Existe o limite
? E o limite
?