Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a função dada por
f(x, y) = x^2 / (x^2 - y)
não tem limite quando (x, y) tende a (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa função aqui:
f(x, y) = x^2 / (x^2 - y)
E a pergunta é: quando se aproxima de , essa função tem um limite? Ou seja, conseguiremos encontrar um número que a função se aproxima independente do caminho que a gente escolha para chegar em ? Vamos usar um pouco de cálculo de limites e analisar diferentes caminhos para ver o que acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função não ter limite. Se a gente conseguir mostrar que, dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em , a função dá valores diferentes, então o limite não existe. Vamos testar alguns caminhos comuns.

Passo 3

Vamos começar com o caminho . Ou seja, estamos vindo do eixo .
Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, a função tende a 1 quando vai para 0.

Passo 4

Agora, vamos testar outro caminho: . Esse é interessante porque o denominador da função fica zero, o que pode causar problemas.
Substituindo na função:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que não é permitido. Na verdade, isso significa que ao longo do caminho , a função não está definida. Isso já sugere que o limite pode não existir, mas vamos ver mais um caminho para confirmar.

Passo 5

Vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, , onde é uma constante. Isso nos permite ver como a função se comporta para diferentes múltiplos de .
Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite da função é . Isso significa que dependendo do valor de , o limite pode ser diferente. Por exemplo:
  • Se , já vimos que o limite é 1.
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .

Resposta

Como conseguimos encontrar diferentes valores de limite dependendo do caminho escolhido para chegar em , a função não tem limite quando tende a .

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