Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a função dada por
não tem limite quando
tende a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa função aqui:
E a pergunta é: quando
se aproxima de
, essa função tem um limite? Ou seja, conseguiremos encontrar um número que a função se aproxima independente do caminho que a gente escolha para chegar em
? Vamos usar um pouco de cálculo de limites e analisar diferentes caminhos para ver o que acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função não ter limite. Se a gente conseguir mostrar que, dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em
, a função dá valores diferentes, então o limite não existe. Vamos testar alguns caminhos comuns.
Passo 3
Vamos começar com o caminho
. Ou seja, estamos vindo do eixo
.
Substituindo
na função:
Então, ao longo desse caminho, a função tende a 1 quando
vai para 0.
Passo 4
Agora, vamos testar outro caminho:
. Esse é interessante porque o denominador da função
fica zero, o que pode causar problemas.
Substituindo
na função:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que não é permitido. Na verdade, isso significa que ao longo do caminho
, a função não está definida. Isso já sugere que o limite pode não existir, mas vamos ver mais um caminho para confirmar.
Passo 5
Vamos escolher um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é uma constante. Isso nos permite ver como a função se comporta para diferentes múltiplos de
.
Substituindo
na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite da função é
. Isso significa que dependendo do valor de
, o limite pode ser diferente. Por exemplo:
- Se
, já vimos que o limite é 1. - Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Resposta
Como conseguimos encontrar diferentes valores de limite dependendo do caminho escolhido para chegar em
, a função
não tem limite quando
tende a
.