Mostre que todo plano que é tangente ao cone passa pela origem.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cone definido pela equação . Precisamos mostrar que todo plano que é tangente a esse cone passa pela origem . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície. Se temos uma superfície definida por , o plano tangente nesse ponto é dado por:
Onde são as derivadas parciais de em relação a , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é . Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o plano tangente no ponto é:

Passo 4

Vamos simplificar a equação do plano:
Dividindo todos os termos por 2:
Agrupando:

Passo 5

Agora, lembrando que o ponto está na superfície do cone, então:
Substituindo na equação do plano:
Ou seja:

Passo 6

Queremos verificar se o ponto está no plano tangente. Substituindo , e na equação do plano:
Isso confirma que a origem satisfaz a equação do plano tangente.

Resposta

Todo plano tangente ao cone necessariamente passa pela origem .

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