Mostre que todo plano que é tangente ao cone
passa pela origem.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cone definido pela equação
. Precisamos mostrar que todo plano que é tangente a esse cone passa pela origem
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície. Se temos uma superfície definida por
, o plano tangente nesse ponto
é dado por:
Onde
são as derivadas parciais de
em relação a
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, a superfície é
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o plano tangente no ponto
é:
Passo 4
Vamos simplificar a equação do plano:
Dividindo todos os termos por 2:
Agrupando:
Passo 5
Agora, lembrando que o ponto
está na superfície do cone, então:
Substituindo na equação do plano:
Ou seja:
Passo 6
Queremos verificar se o ponto
está no plano tangente. Substituindo
,
e
na equação do plano:
Isso confirma que a origem satisfaz a equação do plano tangente.
Resposta
Todo plano tangente ao cone
necessariamente passa pela origem
.
Exercícios relacionados
Calcule caso os limites existam. Justifique.
, onde
é dada
Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a -1 na direção
. Calcule
em que
é o versor de
.
Resolva as seguintes desigualdades:
c)
c)
Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?