Calcule :

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a derivada de em relação a , onde:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas, já que é o produto de várias funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto múltiplas vezes e conhecer as derivadas de funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observamos que temos dois termos com . Podemos combinar esses termos usando uma propriedade das potências:
Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, identificamos que é o produto de três funções:
  1. (um polinômio)
  2. (outro polinômio)
  3. (uma função exponencial)
Para derivar , usaremos a regra do produto para três funções, que é análoga à regra do produto para duas funções, mas aplicada mais de uma vez.

Passo 4

A regra do produto para três funções , e é dada por:
Onde:
  • é a derivada de em relação a
  • é a derivada de em relação a
  • é a derivada de em relação a

Passo 5

Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas na fórmula da regra do produto:

Passo 7

Para simplificar a expressão, fatoramos em comum:

Passo 8

Agora, podemos deixar a expressão assim ou expandir os termos dentro dos colchetes para obter uma forma mais completa. Dependendo do objetivo, uma forma fatorada pode ser suficiente. Para finalizar, nossa derivada é:

Resposta

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Calcule :
Determine as derivadas das funções a seguir:
Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a)
(b)
©
(d) .
Calcule as derivadas de com relação a :