Calcule
:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a derivada de
em relação a
, onde:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas, já que
é o produto de várias funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto múltiplas vezes e conhecer as derivadas de funções polinomiais e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observamos que temos dois termos com
. Podemos combinar esses termos usando uma propriedade das potências:
Assim, a função
fica:
Passo 3
Agora, identificamos que
é o produto de três funções:
-
(um polinômio) -
(outro polinômio) -
(uma função exponencial)
Para derivar
, usaremos a regra do produto para três funções, que é análoga à regra do produto para duas funções, mas aplicada mais de uma vez.
Passo 4
A regra do produto para três funções
,
e
é dada por:
Onde:
-
é a derivada de em relação a -
é a derivada de em relação a -
é a derivada de em relação a
Passo 5
Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 6
Agora, substituímos as derivadas na fórmula da regra do produto:
Passo 7
Para simplificar a expressão, fatoramos
em comum:
Passo 8
Agora, podemos deixar a expressão assim ou expandir os termos dentro dos colchetes para obter uma forma mais completa. Dependendo do objetivo, uma forma fatorada pode ser suficiente. Para finalizar, nossa derivada é:
Resposta
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Calcule
:
Determine as derivadas das funções a seguir:
Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Calcule as derivadas de
com relação a
: