Determine as derivadas das funções a seguir: u = ((x^2 + x)(x^2 - x + 1)) / x^4 - 3 / x^4

Passo 1

Vamos resolver as derivadas das seguintes funções:
Para isso, vamos utilizar as regras de derivação, como a regra do produto, a regra do quociente e as derivadas de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função .
Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .
Primeiro, vamos encontrar usando a regra do produto:
Seja e , então:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Agora, queremos simplificar , mas para manter a didática, vamos deixar a expressão assim mesmo.
A derivada de é:
Aplicando a regra do quociente:
Podemos simplificar a expressão dividindo por , mas para o propósito deste exercício, deixamos a expressão da derivada de dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função :
Podemos reescrever como:
Para derivar, usamos a regra da potência, que diz que se , então .
Aplicando essa regra:
Ou, reescrevendo de forma fracionária:

Resposta

As derivadas das funções são:

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