Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
usando integração em coordenadas cilíndricas.
usando integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o cálculo do centro de gravidade usando integração em coordenadas cilíndricas. O centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar concentrada toda a massa de um objeto. Para calcular isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e de coordenadas cilíndricas, que são uma forma de representar pontos no espaço usando raio, ângulo e altura.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo vertical (geralmente o eixo ), -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a altura do ponto.
Passo 3
Vamos assumir que estamos trabalhando com um objeto de densidade uniforme, ou seja, a densidade
é constante. Isso simplifica nossos cálculos, já que não precisamos nos preocupar com variações de densidade dentro do objeto.
Passo 4
Para encontrar o centro de gravidade, precisamos calcular as coordenadas
. Em coordenadas cilíndricas, essas coordenadas podem ser expressas em termos de integrais múltiplas:
Onde
é a massa total do objeto e
é o elemento de volume.
Passo 5
O próximo passo é calcular a massa total
. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
é dado por:
Então, a massa total é:
Passo 6
Depois de calcular a massa total, vamos calcular as integrais para
,
e
. Cada uma delas seguirá a mesma estrutura:
Passo 7
Vamos exemplificar com um cilindro de altura
e raio
. Para este caso:
-
varia de a , -
varia de a , -
varia de a .
Passo 8
Calculando a massa
:
Passo 9
Calculando
:
Passo 10
Calculando
:
Como o cilindro é simétrico em relação ao ângulo
, a integral de
sobre
a
cancela, resultando em:
Passo 11
Calculando
:
Resposta
O centro de gravidade do cilindro está localizado no ponto
.
Exercícios relacionados
Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano
, pelo o cilindro dado por
e pelo cone
, representado pela figura a seguir:
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
Calcule.
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Sendo
uma função invertível, derivável, talque
e
, calcule
.