Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
usando integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o cálculo do centro de gravidade usando integração em coordenadas cilíndricas. O centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar concentrada toda a massa de um objeto. Para calcular isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e de coordenadas cilíndricas, que são uma forma de representar pontos no espaço usando raio, ângulo e altura.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo vertical (geralmente o eixo ),
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a altura do ponto.

Passo 3

Vamos assumir que estamos trabalhando com um objeto de densidade uniforme, ou seja, a densidade é constante. Isso simplifica nossos cálculos, já que não precisamos nos preocupar com variações de densidade dentro do objeto.

Passo 4

Para encontrar o centro de gravidade, precisamos calcular as coordenadas . Em coordenadas cilíndricas, essas coordenadas podem ser expressas em termos de integrais múltiplas:
Onde é a massa total do objeto e é o elemento de volume.

Passo 5

O próximo passo é calcular a massa total . Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por:
Então, a massa total é:

Passo 6

Depois de calcular a massa total, vamos calcular as integrais para , e . Cada uma delas seguirá a mesma estrutura:

Passo 7

Vamos exemplificar com um cilindro de altura e raio . Para este caso:
  • varia de a ,
  • varia de a ,
  • varia de a .

Passo 8

Calculando a massa :

Passo 9

Calculando :

Passo 10

Calculando :
Como o cilindro é simétrico em relação ao ângulo , a integral de sobre a cancela, resultando em:

Passo 11

Calculando :

Resposta

O centro de gravidade do cilindro está localizado no ponto .

Exercícios relacionados

Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano , pelo o cilindro dado por e pelo cone , representado pela figura a seguir:
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
Calcule.
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Sendo uma função invertível, derivável, talque e , calcule .