Calcule.
integral1^2 xraiz1+3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida:
integral1^2 xraiz1+3 x^2 , dx
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com uma integração que envolve substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição que facilita a integral tornando-a mais simples de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olhando para a expressão dentro da raiz quadrada, temos u = 1 + 3x^2 . Vamos chamar essa parte de dudx = 6x Rightarrow du = 6x , dx :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para fazer a substituição completa. Derivando ambos os lados:
Perceba que temos um na integral original, e o é . Isso vai ajudar a substituir essa parte na integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral em termos de integral xraiz1 + 3x^2 , dx = integral xraizu , dx :
Temos:
x , dx = du6
Sabemos que integral xraizu , dx = integral 1raizu cdot du6 = 16 integral u^-1/2 , du , então podemos resolver para :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar 16 integral u^-1/2 , du = 16 cdot 2u^1/2 + C = 13 raizu + C :
13 raiz1 + 3x^2 + C
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 5

Como estamos resolvendo uma integral definida de [ 13 raiz1 + 3x^2 ]1^2 = 13 raiz1 + 3(2)^2 - 13 raiz1 + 3(1)^2 a raiz1 + 3(4) = raiz13 , precisamos avaliar a antiderivada nos limites e subtrair:
raiz1 + 3(1) = raiz4 = 2
Calculando cada parte:
Para 13 raiz13 - 13 cdot 2 = raiz13 - 23 :
Para :
Substituindo de volta:

Resposta

A integral vale:
raiz13 - 23

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