Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com uma integração que envolve substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição que facilita a integral tornando-a mais simples de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olhando para a expressão dentro da raiz quadrada, temos . Vamos chamar essa parte de :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para fazer a substituição completa. Derivando ambos os lados:
Perceba que temos um na integral original, e o é . Isso vai ajudar a substituir essa parte na integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral em termos de :
Temos:
Sabemos que , então podemos resolver para :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 5

Como estamos resolvendo uma integral definida de a , precisamos avaliar a antiderivada nos limites e subtrair:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Substituindo de volta:

Resposta

A integral vale:

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usando integração em coordenadas cilíndricas.