Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com uma integração que envolve substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição que facilita a integral tornando-a mais simples de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olhando para a expressão dentro da raiz quadrada, temos
. Vamos chamar essa parte de
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para fazer a substituição completa. Derivando ambos os lados:
Perceba que temos um
na integral original, e o
é
. Isso vai ajudar a substituir essa parte na integral.
Passo 3
Vamos reescrever a integral em termos de
:
Temos:
Sabemos que
, então podemos resolver para
:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 5
Como estamos resolvendo uma integral definida de
a
, precisamos avaliar a antiderivada nos limites e subtrair:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale:
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Calcule e verifique sua resposta por derivação.
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Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano
, pelo o cilindro dado por
e pelo cone
, representado pela figura a seguir:
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
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Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
usando integração em coordenadas cilíndricas.
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