Sendo uma função invertível, derivável, talque e , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções inversas e derivadas. Precisamos calcular a derivada da função inversa de no ponto 2. Para isso, vamos precisar entender como relacionar e sua inversa e usar a fórmula da derivada da função inversa.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é invertível, ou seja, cada entrada tem uma única saída e vice-versa. Sabendo que , isso significa que . Basicamente, se leva 1 para 2, então a inversa leva 2 de volta para 1.

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada da função inversa , usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula nos diz que a derivada da função inversa em um ponto é igual ao inverso da derivada da função original no ponto que corresponde a pela função inversa.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, queremos calcular . Sabemos que , então substituímos na fórmula:

Passo 5

Sabemos pelo enunciado que . Então, substituindo na expressão:

Resposta

A derivada da função inversa de no ponto 2 é .

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.
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