Sendo
uma função invertível, derivável, talque
e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções inversas e derivadas. Precisamos calcular a derivada da função inversa de
no ponto 2. Para isso, vamos precisar entender como relacionar
e sua inversa
e usar a fórmula da derivada da função inversa.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é invertível, ou seja, cada entrada tem uma única saída e vice-versa. Sabendo que
, isso significa que
. Basicamente, se
leva 1 para 2, então a inversa leva 2 de volta para 1.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada da função inversa
, usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula nos diz que a derivada da função inversa em um ponto
é igual ao inverso da derivada da função original no ponto
que corresponde a
pela função inversa.
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, queremos calcular
. Sabemos que
, então substituímos na fórmula:
Passo 5
Sabemos pelo enunciado que
. Então, substituindo na expressão:
Resposta
A derivada da função inversa de
no ponto 2 é
.
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.
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