Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano
, pelo o cilindro dado por
e pelo cone
, representado pela figura a seguir:
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
Passo 1
Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos um sólido homogêneo limitado pelo plano
, pelo cilindro
e pelo cone
. Nosso objetivo é calcular o centro de gravidade desse sólido, ou seja, encontrar as coordenadas
.
Para resolver, vamos utilizar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, pois elas facilitam a descrição da região limitada pelo cilindro e pelo cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cilindro
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro tem raio 1 e está centrado em
no plano
.
Passo 3
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 4
Determinar os limites de integração é essencial. Analisamos cada variável:
-
: Como o cilindro está centrado em , o ângulo varia de a . -
: A partir da equação do cilindro . -
: Vai de até o cone .
Portanto, os limites são:
Passo 5
Calculando o volume
do sólido:
Integrando em
:
Então,
Integrando em
:
Portanto,
(Usando
)
Passo 6
Pelo simetria do sólido em relação ao eixo
, sabemos que
.
Passo 7
Calculando
:
Simplificando:
Integrando em
:
Então,
(Usando
)
Passo 8
Calculando
:
Integrando em
:
Então,
Sabendo que,
Portanto,
Resposta
O centro de gravidade do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule.
Calcule e verifique sua resposta por derivação.
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e
usando integração em coordenadas cilíndricas.
usando integração em coordenadas cilíndricas.
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.