Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano , pelo o cilindro dado por e pelo cone , representado pela figura a seguir:
Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos um sólido homogêneo limitado pelo plano , pelo cilindro e pelo cone . Nosso objetivo é calcular o centro de gravidade desse sólido, ou seja, encontrar as coordenadas .
Para resolver, vamos utilizar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, pois elas facilitam a descrição da região limitada pelo cilindro e pelo cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cilindro . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro tem raio 1 e está centrado em no plano .

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 4

Determinar os limites de integração é essencial. Analisamos cada variável:
  • : Como o cilindro está centrado em , o ângulo varia de a .
  • : A partir da equação do cilindro .
  • : Vai de até o cone .
Portanto, os limites são:

Passo 5

Calculando o volume do sólido:
Integrando em :
Então,
Integrando em :
Portanto,
(Usando )

Passo 6

Pelo simetria do sólido em relação ao eixo , sabemos que .

Passo 7

Calculando :
Simplificando:
Integrando em :
Então,
(Usando )

Passo 8

Calculando :
Integrando em :
Então,
Sabendo que,
Portanto,

Resposta

O centro de gravidade do sólido é .

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usando integração em coordenadas cilíndricas.
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.