Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral0^pi u sin (2 u) d u.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e nesse caso.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos para ser a função que se simplifica ao derivarmos.

Passo 3

Vamos definir:
u = u Rightarrow du = du
dv = sin(2u) , du Rightarrow v = -12 cos(2u)
Aqui, derivamos para obter e integramos para encontrar .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u sin(2u) , du = uv - integral v , du
= ( u cdot (-12 cos(2u)) ) - integral (-12 cos(2u)) , du
= -u2 cos(2u) + 12 integral cos(2u) , du

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante integral cos(2u) , du = 12 sin(2u) + C :
-u2 cos(2u) + 12 cdot 12 sin(2u) + C
Substituindo de volta:
= -u2 cos(2u) + 14 sin(2u) + C

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de [ -u2 cos(2u) + 14 sin(2u) ]0^pi a -pi2 cos(2pi) + 14 sin(2pi) = -pi2 cdot 1 + 14 cdot 0 = -pi2 :
-02 cos(0) + 14 sin(0) = 0 + 0 = 0
Calculando em :
Calculando em :

Resposta

integral0^pi u sin (2u) , du = -pi2

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